已知函数 $f(x)=x \ln x(x>0)$.
(1) 设函数 $g(x)=f(x)+f(1-x)$, 求函数 $g(x)$ 的极值;
(2) 若不等式 $f(x) \geq a x+b(a, b \in \mathbf{R})$ 当且仅当在区间 $[\mathrm{e},+\infty)$ 上成立（其中 e 为自然对数的底数), 求 $a b$ 的最大值;
(3) 实数 $m, n$ 满足 $0 < m < n$, 求证: $\ln m+1 < \frac{f(n)-f(m)}{n-m} < \ln n+1$.