已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $e=\frac{1}{2}$, 左、右顶点分别为 $A, B, O$ 为坐标原点, $M$ 为线段 $O A$ 的中点, $P$ 为椭圆上动点, 且 $\triangle M P B$ 面积的最大值为 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$.
(1) 求椭圆 $E$ 的方程;
(2) 延长 $P M$ 交椭圆于 $Q$, 若 $\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{B Q}=6$, 求直线 $P Q$ 的方程.