若直线 $y=k x(k \in \mathbf{R})$ 与圆 $C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$ 交于不同的两点 $A 、 B, O$ 为坐标原点, 则
$\text{A.}$ 当 $k=2$ 时, $|A B|=\frac{4}{5} \sqrt{5}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$ 的取值范围为 $[-1,1]$
$\text{C.}$ $|O A| \cdot|O B|=1$
$\text{D.}$ 线段 $A B$ 中点的轨迹长度为 $\sqrt{2} \pi$