混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中, 假设在一个混沌系统中, 用 $x_n$来表示系统在第 $n$ 个时刻的状态值, 且该系统下一时刻的状态值 $x_{n+1}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$, 已知初始状态值 $x_0 \in(0,1)$, 其中 $f(x)=a x^2-a x(a \in \mathbf{R})$, 这样每一时刻的状态值 $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$ 构成数列 $\left\{x_n\right\}(n \in \mathbf{N})$.
(1) 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 为等比数列, 求实数 $a$ 的取值范围;
(2) 若 $x_0=\frac{1}{2}, a=-1$, 证明:
(1) $1 < \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n} \leq 2$;
(2) $\sum_{i=0}^n x_i^2 \leq \frac{n+1}{2(n+2)}$.