单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x, y)=\ln (y+|x \sin y|)$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 不存在, $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 存在
$\text{B.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 存在, $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 不存在
$\text{C.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均存在
$\text{D.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均不存在
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-\bar{x}\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{F}(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{F}(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
已知 $a_n < b_n(n=1,2, \cdots)$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均收敛，则 " $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛 "是 " $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛"的( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵， $M^*$ 为 $M$ 的伴随矩阵，则 $\left(\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right)^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| B^* & -B^* A^* \\ O & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & -A^* B^* \\ O & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & -B^* A^* \\ O & |A| B^*\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^* & -\boldsymbol{A}^* B^* \\ -\boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right)$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_3\right)^2-4\left(x_2-x_3\right)^2$的规范型为 ( )
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2$
$\text{B.}$ $y_1^2-y_2^2$
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2-4 y_3^2$
$\text{D.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
已知向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$既可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示，则 $\gamma=$
$\text{A.}$ $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{B.}$ $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{C.}$ $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{D.}$ $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\boldsymbol{E}(|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}|)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{\mathrm{e}}$
$\text{D.}$ 1
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体的 $N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $Y_1, Y_2, \cdots Y_m$ 为来自总体的 $N\left(\mu_2, 2 \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，且两样本相互独立，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m Y_i$ ，
$$
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_2^2=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2
$$
则 $($ )
$\text{A.}$ $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n, m)$
$\text{B.}$ $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$
$\text{C.}$ $\frac{2 S_1^2}{S_2^2} \sim F(n, m)$
$\text{D.}$ $\frac{2 S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$
设 $X_1, X_2$ 为来自总体 $\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma(\sigma>0)$ 是末知参数，若 $\hat{\sigma}=a\left|X_1-X_2\right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计，则 $a=$ （）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{\pi}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2 \pi}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(2-x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)=$
已知函数 $f(x, y)$ 满足
$\mathrm{d} f(x, y)=\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}, f(1,1)=\frac{\pi}{4} ，$
则 $f(\sqrt{3}, 3)=$
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}=$
设某公司在 $t$ 时刻的资产为 $f(t)$ ，从 0 时刻到 $t$ 时刻的平均资产等于 $\frac{f(t)}{t}-t$ ，假设 $f(t)$ 连续且 $f(0)=0$ ，则 $f(t)=$
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_1+x_3=1 \\ x_1+a x_2+x_3=0 \\ x_1+2 x_2+a x_3=0 \\ a x_1+b x_2=2\end{array}\right.$ 有解，其中 $a, b$ 为常数.若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且
$$
X \sim B(1, p), Y \sim B(2, p), p \in(0,1)
$$
则 $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$ 与 $\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}$ 的相关系数为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知可导函数 $y=y(x)$ 满足
$$
a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0
$$
且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.
已知平面区域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}}\right., x \geq 1\right\}
$$
(1) 求 $D$ 的面积;
(2) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+y^2 \leq 1\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D\left|\sqrt{x^2+y^2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$
设矩阵 $A$ 满足: 对任意 $x_1, x_2, x_3$ 均有
$$
A\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_1+x_2+x_3 \\
2 x_1-x_2+x_3 \\
x_2-x_3
\end{array}\right)
$$
(1) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
(2) 求可迕矩阵 $P$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，使得 $\bar{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}$.
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
\begin{aligned}
& \quad f(x)=\frac{e^x}{\left(1+e^x\right)^2},-\infty < x < +\infty \\
& \text { 令 } Y=e^X \text {. }
\end{aligned}
$$
(1) 求 $X$ 的分布函数；
(2) 求 $Y$ 的概率密度;
（3） $\boldsymbol{Y}$ 的期望是否存在?