单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，用" $o(x)$ "表示比 $x$ 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是
$\text{A.}$ $x \cdot o\left(x^2\right)=o\left(x^3\right)$
$\text{B.}$ $o(x) \cdot o\left(x^2\right)=o\left(x^3\right)$
$\text{C.}$ $o\left(x^2\right)+o\left(x^2\right)=o\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $o(x)+o\left(x^2\right)=o\left(x^2\right)$
函数 $f(x)=\frac{|x|^x-1 \mid}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $D_k$ 是圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ 的第 $k$ 象限的部分，记 $I_k=\iint_{D_k}(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(k=1,2,3,4)$ ，则
$\text{A.}$ $I_1>0$
$\text{B.}$ $I_2>0$
$\text{C.}$ $I_3>0$
$\text{D.}$ $I_4>0$
设 $\left\{a_n\right\}$ 为正项数列，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $a_n>a_{n+1}$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛，则 $a_n>a_{n+1}$
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则存在常数 $p>1$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p a_n$ 存在
$\text{D.}$ 若存在常数 $p>1$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p a_n$ 存在，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B=C$ ，且 $B$ 可逆，则
$\text{A.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组等价
$\text{C.}$ 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{D.}$ 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价
矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0 ， b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
设 $X_1, X_2, X_3$ 是随机变量，且
$$
\begin{gathered}
X_1 \sim N(0,1), X_2 \sim N\left(0,2^2\right), X_3 \sim N\left(5,3^2\right), \\
p_i=P\left\{-2 \leq X_i \leq 2\right\}(i=1,2,3),
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $p_1>p_2>p_3$
$\text{B.}$ $p_2>p_1>p_3$
$\text{C.}$ $p_3>p_1>p_2$
$\text{D.}$ $p_1>p_3>p_2$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 概率分布分别为，
则 $P\{X+Y=2\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设曲线 $y=f(x)$ 和 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处有公共的切线，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{n}{n+2}\right)=$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $(z+y)^x=x y$ 确定，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$ 通解为 $y=$
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵， $|A|$ 为 $A$ 的行列式， $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式. 若 $a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2,3)$ ，则 $|A|=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从标准正态分布 $\mathrm{N}(0,1)$ ，则 $E\left(X e^{2 X}\right)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
当 $x \rightarrow 0$ 时, $1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x$ 与 $a x^n$ 是等价无穷小量，求常数 $n$ 与 $a$ 的值.
设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ ，直线 $x=a(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形， $V_x, V_y$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $10 V_x=V_y$ ，求 $a$ 的值.
设平面区域 $D$ 是由直线 $x=3 y, y=3 x, x+y=8$ 围成，计算 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设生产某产品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元 $/$ 件，价格函数为 $P=60-\frac{Q}{1000}$ ( $P$ 是单价，单位：元， $Q$是销量，单位：件），已知产销平衡，求：
(1) 该商品的边际利润;
(2) 当 $P=50$ 时的边际利润，并解释其经济意义.;
(3) 使得利润最大的定价 $\boldsymbol{P}$.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导， $f(0)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2$ ，证明:
(1) 存在 $a>0$ ，使得 $f(a)=1$ ；
(2) 对（I)中的 $a$ ，存在 $\xi \in(0, a)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{1}{a}$.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ，当 $a ， b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $A C-C A=B$ ，并求所有矩阵 $C$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2$ $+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2$. 记
$$
\alpha=\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right) ， \quad \beta=\left(\begin{array}{l}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}\right) .
$$
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^T+\boldsymbol{\beta} \beta^T$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.
设 $(X, Y)$ 是二维随机变量， $X$ 的边缘概率密度为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}
3 x^2, & 0 < x < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
在给定 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件下， $Y$ 的条件概率密度为
(1) 求 $(X, Y)$ 的概率密度 $f(x, y)$ ；
(2) 求 $Y$ 的边缘概率密度 $f_Y(y)$ ；
(3) 求 $P\{X>2 Y\}$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta^2}{x^3} e^{-\frac{\theta}{x}}, x>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为未知参数且大于零， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$的简单随机样本。
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.