单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=a \ln x(a \neq 0)$ 相切, 则
$\text{A.}$ $4 e$
$\text{B.}$ $3 e$
$\text{C.}$ $2 e$
$\text{D.}$ $ e$
设 $m, n$ 为正整数，则反常积分 $\int_0^1 \frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性
$\text{A.}$ 仅与 $m$ 取值有关
$\text{B.}$ 仅与 ${n}$ 取值有关
$\text{C.}$ 与 $m, n$ 取值都有关
$\text{D.}$ 与 $m, n$ 取值都无关
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定，其中 $\boldsymbol{F}$ 为可微函数,且 $F_2^{\prime} \neq 0$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ $x$
$\text{B.}$ $z$
$\text{C.}$ $-x$
$\text{D.}$ $-z$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)}=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y)} d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
设向量组 I : $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 可由向量组 II : $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$线性表示，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 I线性无关，则 $r \leq s$
$\text{B.}$ 若向量组 I线性相关，则 $r>s$
$\text{C.}$ 若向量组 II 线性无关，则 $r \leq s$
$\text{D.}$ 若向量组 II 线性相关，则 $r>s$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cccc}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cccc}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
三阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$的通解为 $y=$
曲线 $y=\frac{2 x^3}{x^2+1}$ 的渐近线方程为
当 $0 \leq \theta \leq \pi$ 时，对数螺线 $r=e^\theta$ 的弧长为
函数 $y=\ln (1-2 x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $y^{(n)}(0)=$
已知一个长方形的长 $l$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增加，宽 $w$ 以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增加，则当 $l=12 \mathrm{~cm}, w=5 \mathrm{~cm}$ 时，它的对角线增加的速率为
设 $A, B$ 为三阶矩阵, 且 $|A|=3,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=2$,则 $\left|A+B^{-1}\right|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $f(x)=\int_1^{x^2}\left(x^2-t\right) e^{-t^2} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值.
(1) 比较 $\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t$ 与 $\int_0^1 t^n|\ln t| \mathrm{d} t$ $(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由.
（2）记 $u_n=\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} u_n$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+t^2 \\ y=\psi(t)\end{array} \quad(t>-1)\right.$ 所确定，其中 $\psi(t)$ 具有 2 阶导数，且 $\psi(1)=\frac{5}{2}, \psi^{\prime}(1)=6$.已知 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{3}{4(1+t)}$ ，求函数 $\psi(t)$.
一个高为 $l$ 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 $2 a$ ，短轴为 $2 b$ 的椭圆. 现将咜油罐以长轴平行于水平面平放，当油罐中油面高度为 $\frac{3}{2} b$ 时，计算油的质量. (长度单位为 m ，质量单位为 kg ，油的密度为常数 $\rho \mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ )
设函数 $u=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足等式
$$
4 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+12 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+5 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 ，
$$
确定 $a, b$ 的值，使等式在变换 $\xi=x+a y, \eta=x+b y$ 下化简为 $\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}=0$.
计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq \sec \theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\right\}$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=\frac{1}{3}$. 证明: 存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=\xi^2+\eta^2$.
设 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $A x=b$ 存在两个不同的解.
（1）求 $\lambda, a$.
(2) 求方程组 $A x=b$ 的通解.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$, 正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵，若 $Q$ 的第 1 列为 $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$ ，求 $a, Q$.