设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=\frac{1}{3}$. 证明: 存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=\xi^2+\eta^2$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$