单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n-x^{2-n}}{x^{n+2}+x^{-n}}, F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 仅有 2 个间断点, $F(x)$ 为连续的偶函数.
$\text{B.}$ $f(x)$ 仅有 2 个间断点, $F(x)$ 为连续的奇函数.
$\text{C.}$ $f(x)$ 有 3 个间断点, $F(x)$ 有 3 个不可导点.
$\text{D.}$ $f(x)$ 有 3 个间断点, $F(x)$ 有 2 个不可导点.
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ 的解, 在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 4 , 且 $y^{\prime \prime}(0)=$ 0 , 则 $y(x)=$
$\text{A.}$ $\left(3-2 x^2\right) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{B.}$ $3 \mathrm{e}^x+x \mathrm{e}^{-x}$.
$\text{C.}$ $(3-2 x) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^x+(3-2 x) \mathrm{e}^{-x}$.
已知函数 $f(x, y)=|x-y| g(x, y)$, 其中 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内有定义, 则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处偏导数存在的充分条件是
$\text{A.}$ $g(0,0)=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在且 $g(0,0)=0$.
$\text{D.}$ $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $g(0,0)=0$.
设 $1 < x < 3$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2024+x^n+x^{2 n}+\frac{1}{3^n} x^{3 n}}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $x$.
$\text{C.}$ $x^2$.
$\text{D.}$ $\frac{x^3}{3}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶可逆矩阵,将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行加到第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 第 1 行乘 2 得矩阵 $\boldsymbol{C}$, 则 $A C^{-1}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 3 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B A})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A B}\end{array}\right)=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{B A})$.
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right)$, 与 $\boldsymbol{A}$ 合同但不相似的矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ll}-1 & -1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$.
已知 $P(A)=P(B)=\frac{2}{3}$, 又设 $I=P(A \mid B)+P(B \mid A)$, 则 $I$ 的最大可能取值 $I_1$ 和最小可能取值 $I_2$ 之差为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1
假设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其样本均值为 $\bar{X}$, 如果 $P\{|X-\mu| < a\}=P\{|\bar{X}-\mu| < b\}$, 其中 $\sigma>0$, 则有
$\text{A.}$ $a=n b$.
$\text{B.}$ $b=n a$.
$\text{C.}$ $a=\sqrt{n} b$.
$\text{D.}$ $b=\sqrt{n} a$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $D\left(\bar{X}^2\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{n^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{n^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{n^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{n^2}$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{(\arctan x)^2}=$
差分方程 $y_{x+1}-3 y_x=2+x \cdot 3^x$ 的通解为
设 $D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1, \operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\iint_D \max \{x, y\} \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上具有连续导数, $f(1)=1, g(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数, 且满足 $\int_1^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=$ $x \ln x$, 则在 $[1,+\infty)$ 上 $f(x)=$
若实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(a x_1+x_2\right)^2+\left(a x_2+x_3\right)^2+\left(a x_3+x_1\right)^2$ 为正定的, 则 $a$ 满足的条件是
袋中有 4 个球,其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球,如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验,否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个照球为止. 用 $X$ 表示抽取次数, 则数学期望 $E X=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $z=f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^y\right) \cos x-y \mathrm{e}^y$ 的极值.
设在区间 $[n \pi,(n+1) \pi]$ 上由曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sin x$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $S_n(n=0$, $1,2, \cdots)$, 求级数 $I=\sum_{n=0}^{\infty} n(n+1) S_n$ 的值.
求反常二重积分 $I=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}|x-y| \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b](a>0)$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $f(a)=0, f(b)=1$. 证明:
(I) 存在 $c \in(a, b)$, 使得 $f(c)=\frac{a}{a+b}$;
(II) 存在两个不同的点 $\xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\frac{a}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{b}{f^{\prime}(\eta)}=b^2-a^2$.
设 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}b \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)$, 求解方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$.
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 容量为 $n(n>1)$ 的简单随机样本, 样本均值与方差分别为 $\bar{X}, S^2$. 记 $\hat{\sigma}^2=(n-1) \bar{X}^2+\frac{1}{n} S^2$, 试求统计量 $\hat{\sigma}^2$ 的期望 $E \hat{\sigma}^2$ 与方差 $D \hat{\sigma}^2$.