单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设$$
\begin{gathered}
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right), \\
\mathbf{P}_1=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad \mathbf{P}_2=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{gathered}
$$
则必有
$\text{A.}$ $\mathbf{A} \mathbf{P}_1 \mathbf{P}_2=\mathbf{B}$;
$\text{B.}$ $\mathbf{A P}_2 \mathbf{P}_1=\mathbf{B}$;
$\text{C.}$ $\mathbf{P}_1 \mathbf{P}_2 \mathbf{A}=\mathbf{B}$;
$\text{D.}$ $\mathbf{P}_2 \mathbf{P}_1 \mathbf{A}=\mathbf{B}$.
设 $\mathbf{A}$ 是 4 阶矩阵, 且 $\mathbf{A}$ 的行列式 $|\mathbf{A}|=0$, 则 $\mathbf{A}$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0 ;
$\text{B.}$ 必有两列元素成比例;
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
$\text{D.}$ 任意列向量是其余列向量的线性组合.
设 $\mathbf{A}$ 是 $5 \times 6$ 矩阵, 而且 $\mathbf{A}$ 的行向量线性无关, 则
$\text{A.}$ $\mathbf{A}$ 的列向量线性无关;
$\text{B.}$ 线性方程组 $\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ 的增广矩阵 $\overline{\mathbf{A}}$ 的行向量线性无关;
$\text{C.}$ 线性方程组 $\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ 的增广矩阵 $\overline{\mathbf{A}}$ 的任意四个列向量线性无关;
$\text{D.}$ 线性方程组 $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ 有唯一解.
设矩阵 $\mathbf{A}$ 是三阶方阵, $\lambda_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的二重特征值, 则下面各向量组中:
(1) $(1,3,-2)^T,(4,-1,3)^T,\left(\begin{array}{lll}0 & 0, & 0\end{array}\right)^T$;
(2) $(1,1,1)^T,(1,1,0)^T,(0,0,1)^T$;
(3) $(1,-1,2)^T,(2,-2,4)^T,(3,-3,6)^T$;
(4) $(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T$;
肯定不属于 $\lambda_0$ 的特征向量共有
$\text{A.}$ 1 组;
$\text{B.}$ 2 组;
$\text{C.}$ 3 组;
$\text{D.}$ 4 组;
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶对称矩阵, $\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中, 可用正交变换化为对角矩阵的矩阵 为
$\text{A.}$ BAB ;
$\text{B.}$ ABA ;
$\text{C.}$ $(\mathbf{A B})^2$;
$\text{D.}$ $\mathbf{A B}^2$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & x \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|$ 是关于 $x$ 的一次多项式, 该式中 $x$ 的系数为
已知矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right]$, 且 $\mathbf{A}$ 的秩 $r(\mathbf{A})=3$, 则 $k=$
已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=0 \\
-2 x+3 y=5 \\
2 x+y=a
\end{array}\right.
$$
有解, 则 $a=$
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $|\mathbf{A}| \neq 0, \mathbf{A}^*$ 是 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵. 若 $\mathbf{A}$ 有特征值 $\lambda$, 则 $\left(2 \mathbf{A}^*\right)^{-1}$ 必有一个特征值 是
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+a x_2 x_3$ 是正定二次型, 则 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 满足条件: $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{A B}$.
(1) 证明: $\mathbf{A}-\mathbf{E}$ 是可逆矩阵, 其中 $\mathbf{E}$ 是 $n$ 阶单位.
(2) 已知矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $\mathbf{A}$.
当 $a 、 b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+\quad x_3+x_4 & =0 \\
x_2+\quad 2 x_3+2 x_4 & =1 \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4 & =b \\
3 x_1+2 x_2+\quad x_3+a x_4 & =-1
\end{aligned}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多组解, 并求出有无穷多组解时的通解.
设 4 阶矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right]$, 求 $\mathbf{A}^{100}$.
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,-1,-1), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,0,3)$, 求 $\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$, 使得 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关.
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 如果存在正整数 $k$, 使得 $\mathbf{A}^k=\mathbf{O}$ ( $\mathbf{O}$ 为 $n$ 阶零矩阵), 则称 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵.
(1). 如果 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵, 则矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值全为 0 .
(2). 如果 $\mathbf{A} \neq \mathbf{O}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵, 则矩阵 $\mathbf{A}$ 不与对角矩阵相似.
解:
若二次型 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 \alpha x_1 x_3+2 \beta x_2 x_3$ 经正交变换后可变为标准形 $y_2^2+2 y_3^2$, 求 $\alpha$, $\beta$. 并求出该正交变换.
设有 5 个向量
$
\boldsymbol{\alpha}_1=(3,1,2,5), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,1,2), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{llll}
2, & 0,1,3
\end{array}\right)
$
$\boldsymbol{\alpha}_4=(1,-1,0,1), \boldsymbol{\alpha}_5=(4,2,3,7) .$
求此向量组中的一个极大线性无关组, 并用它表示其余的向量.