解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
利用级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性，若收敛求出级数的和：
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ ．
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}$ ．
判定下列级数的收敛性，若收敛求出级数的和：
（1） $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}+\cdots$ ．
（2）$\frac{1}{3}-\frac{8}{9}+\frac{1}{6}+\left(\frac{8}{9}\right)^2+\frac{1}{9}-\left(\frac{8}{9}\right)^3+\cdots$.
已知 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的和．
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 中有一个收敛，另一个发散，证明：$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+b_n\right)$ 必发散，如果两个级数均发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+b_n\right)$ 是否必发散？（如果正确请证明，否则，请举例）
一弹性的小球从高 $h_0$ 高处落下，落地后弹起的高度为前次下落高度的一半．如此往复起落，问小球的起落是否会停止？
用比较审敛法判别下列级数的收敛性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^n}(a>0)$ ．
用比值审敛法判定下列级数的收敛性：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(2 n-1)!!}$ ；
用根值判别法判别下列级数的收敛性：$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_n}\right)^n$ ，其中 $a_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_n, a, b$ 均为正数．
试判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ 的敛散性．
判定下列交错级数的收敛性：
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln ^2 n}{n}$ ．
（2）$\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\cdots$ ．
判定下列交错级数的收敛性：
（3）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n \cdot n!}{n^n}$
（4）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot(2 n)}$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为收敛正项级数，证明：$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(n \tan \frac{1}{n}\right) a_{2 n}$ 绝对收敛．
设 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛，且（1）数列 $a_n$ 有界；（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；（3）$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，证明：如果以上 3 个条件有一个成立，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 绝对收敛。
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 都收敛，且自某项起，有 $a_n \leq b_n \leq c_n$ ，证明 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 也收敛。