单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 ，则
$\text{A.}$ $a>1$ ．
$\text{B.}$ $a < -2$ ．
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$ ．
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$ ．
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $\boldsymbol{P}= \left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵．若 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{E}$ ，且 $|\boldsymbol{A}|=4$ ，则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathbf{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $\boldsymbol{A}$ 合同矩阵为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right]$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$
$\text{A.}$ 合同且相似。
$\text{B.}$ 合同但不相似．
$\text{C.}$ 不合同但相似．
$\text{D.}$ 不合同且不相似．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$
$\text{A.}$ 合同且相似。
$\text{B.}$ 合同但不相似．
$\text{C.}$ 不合同但相似．
$\text{D.}$ 不合同且不相似．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$
$\text{A.}$ 合同，且相似。
$\text{B.}$ 合同，但不相似．
$\text{C.}$ 不合同，但相似．
$\text{D.}$ 既不合同，也不相似。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 $(x, y, z) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=1$ 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 $\boldsymbol{A}$ 的正特征值的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 可化成标准形 $f=6 y_1^2$ ，则 $a=$
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ ，则 $f$ 的正惯性指数为
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的秩为 $1, \boldsymbol{A}$ 的各行元素之和为 3 ，则 $f$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数为 1 ，则 $a$ 的取值范围是
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+t x_2 x_3$ 是正定的，则 $t$ 的取值范围是
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求一个正交变换化二次型 $f=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 成标准形．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=4 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+8 x_2 x_3$ ．
（I）写出二次型 $f$ 的矩阵表达式；
（II）用正交变换把二次型 $f$ 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)$ ，通过正交变换化成标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ，求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵。
设二次型 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 \alpha x_1 x_2+2 \beta x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 化成 $f=y_2^2+2 y_3^2$ ，其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, y_3\right)^{\mathrm{T}}$ 都是 3 维列向量， $\boldsymbol{P}$ 是 3阶正交矩阵．试求常数 $\alpha, \beta$ ．
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3$ ，
（I）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值；
（II）若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$ ，求 $a$ 的值．
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$ ，二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 的秩为 2 ．
（I）求实数 $a$ 的值；
（II）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 将 $f$ 变成标准形．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 下的标准形为 $y_1^2+y_2^2$ ，且 $Q$ 的第 3 列为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$ ．
（I）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ；
（II）证明 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵．
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数．
（I）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
（II）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形．
（数1）已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1^2+5 x_2^2+c x_3^2-2 x_1 x_2+6 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 的秩为 2 。
（I）求参数 $c$ 及此二次型对应矩阵的特征值；
（II）指出方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 表示何种二次曲面．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定， $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的转置矩阵，试证： $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\boldsymbol{B}$ 的秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=n$ ．