设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定， $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的转置矩阵，试证： $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\boldsymbol{B}$ 的秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=n$ ．