单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \left\lvert\, \frac{x-2}{4-x}>0\right.\right\}, B=\{x| | x-4 \mid>1\}$ ，则 $A \cap\left(C_R B\right)=$
$\text{A.}$ $\{x \mid 2 < x < 3\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 3 < x < 4\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid 3 \leqslant x < 4\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid x < 4$ 或 $x>5\}$
已知 $x \in \mathrm{R}$ ，则＂$x>1$＂是＂$\left(\frac{1}{2025}\right)^x>\left(\frac{1}{2026}\right)^x$＂的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
巳知 $m 、 n$ 是两条不同直线，$\alpha, \beta, \gamma$ 是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha \perp \beta, n / / \alpha$ ，则 $n / / \beta$
$\text{B.}$ 若 $\alpha \perp \beta, \alpha \perp \gamma$ ，则 $\beta / / \gamma$
$\text{C.}$ 若 $m \perp \alpha, m \perp \beta$ ，则 $\alpha / / \beta$
$\text{D.}$ 若 $m / / \alpha, n / / \alpha$ ，则 $m / / n$
任何一个复数 $z=a+b \mathrm{i}$（其中 $a, b \in \mathrm{R}, \mathrm{i}$ 为虚数单位）都可以表示成三角形式 $z=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)$（其中 $r \geqslant 0, \theta \in \mathbf{R}$ ），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理 $:[r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)]^n=r^n(\cos n \theta+\mathrm{i} \sin n \theta)\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ 。已知复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$ ，则 $z^{2026}$ 的虚部为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
若点 $(m, n)(m>0)$ 为函数 $y=\tan \left(x-\frac{3 \pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4}$ 的图象的一个对称中心，则 $m+n$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
从 2 名男生和 4 名女生中选取 3 人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排 1 人且至少有 1 名男生，则不同的选取方法有
$\text{A.}$ 72
$\text{B.}$ 96
$\text{C.}$ 108
$\text{D.}$ 114
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, A=60^{\circ}, D$ 为 $B C$ 上一点，且 $A D=2$ ， $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ ，则 $b+2 c$ 的最大值是
$\text{A.}$ $\frac{12 \sqrt{7}}{7}$
$\text{B.}$ $4 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ $5 \sqrt{2}$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F, O$ 为坐标原点，直线 $l$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点，且 $|\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{A F}|=|\overrightarrow{A O}-\overrightarrow{A F}|, \overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{F A}$ ，设 $C$ 的两条渐近线的夹角为 $\theta$ ，则 $\tan \theta=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{15}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$
$\text{D.}$ $\sqrt{15}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
进人 12 月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了 12 月上旬 （1日－10日）我市的日最高气温如下（单位：C）： $13,8,9,11,12,12,18,16,13,15$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 12 上旬我市日最高气温的极差为 $10^{\circ} \mathrm{C}$
$\text{B.}$ 12 上旬我市日最高气温的平均数为 $12.7^{\circ} \mathrm{C}$
$\text{C.}$ 2 日一 10 日我市日最高气温持续上升
$\text{D.}$ 12 上旬我市日最高气温的 $60 \%$ 分位数为 $13^{\circ} \mathrm{C}$
定义域为 $R$ 的函数 $f(x)$ 满足：（1）$f(f(x+y))=f(x)+f(y)$ ，（2）$f(x)$ 的图象过点 $(1,1)$ ，则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f(x)$ 为偶函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 中心对称
$\text{D.}$ $f(2025)=2026$
（选择性必修－P145习题 2 改编）如图，在棱长为 1 的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个石球，两个石球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为 $\alpha$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 两石球半径之和为定值 $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ 当平面 $\alpha$ 与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 两石球体积之和的最大值是 $\frac{(9-5 \sqrt{3}) \pi}{2}$
$\text{D.}$ 平面 $\alpha$ 截正方体所得截面面积的取值范围是 $\left[\frac{6 \sqrt{3}-9}{4}, \frac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设公差不为零的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_{15}=5\left(a_3+a_7+a_k\right)$ ，则 $k=$
已知点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ 上，点 $Q$ 在圆 $x^2+y^2-2 y=0$ 上，$F(-\sqrt{3}, 0)$ ，则 $|P Q|+|P F|$ 的最大值是
已知函数 $f(x)=\left|\ln x-\frac{1}{2}\right|$ ，若 $0 < x_1 < \sqrt{\mathrm{e}} < x_2 < \mathrm{e}$ ，函数 $f(x)$ 的图象在点 $P\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$和点 $Q\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$ 的两条切线互相垂直，且分别与 $y$ 轴交于 $M, N$ 两点，则 $\frac{|O M|}{2|O N|}$ 的取值范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某兴趣小组调査了某校 100 名学生 100 米短跑成绩的情况，其中有 60 名学生的短跑成绩合格。这 100 名学生中有 45 名学生每周的锻㑈时间超过 5 小时， 60 名短跑成绩合格的学生中有 35 名学生每周的锻炼时间超过 5 小时．
（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值 $\alpha=0.005$ 的 $\chi^2$ 独立性检验，是否可以推断学生短跑成缋合格与每周的锻炼时间超过 5 小时有关？
单位：人
（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{5}{6}$ ，每周的锻炼时间不超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{3}{4}$ ．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取 1 名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率．
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_n=m-\frac{1}{2^n}$ ，令 $b_n=-2 \log _2 a_n-1$ ，由 $a_n$ ， $b_n$ 构成的 $n \times n$ 阶数阵如图所示．
（1）求 $m$ 的值及 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求该数阵中所有项的和 $T_n$ ．
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
a_1 b_1, & a_1 b_2, & a_1 b_3, & \cdots, & a_1 b_n \\
a_2 b_1, & a_2 b_2, & a_2 b_3, & \cdots, & a_2 b_n \\
a_3 b_1, & a_3 b_2, & a_3 b_3, & \cdots, & a_3 b_n \\
& & \cdots & \\
a_n b_1, & a_n b_2, & a_n b_3, & \cdots, & a_n b_n
\end{array}\right)
$$
如图，梯形 $A B C D$ 中，$O$ 为 $D C$ 上一点，$A B=2, A D=2, A O=2 \sqrt{3}$ ，且 $A O \perp A D$ ， $A O / / B C$ ，将 $\triangle D A O$ 沿着 $A O$ 翻折至 $\triangle P A O$ 所在位怚，使得平面 $P A O \perp$ 平面 $A B C O$ ，连接 $P B, P C$ ，得到四棱锥 $P-A B C O, E$ 为 $P B$ 的中点．
（1）若 $F$ 为 $A O$ 的中点，证明：$E F / /$ 平面 $P O C$ ；
（2）在线段 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $O M \perp A B$ ？若存在，求直线 $B M$ 与平面 $P A O$ 的夹角的正弦值；若不存在，请说明理由．
（选择性必修－P76 第 3 题改编）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 到点 $F(0,1)$的距离比到 $x$ 轴的距离大 1 ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（1）求曲线 $C$ 的方程；
（2）设曲线 $C$ 上位于 $y$ 轴两侧的任意两点为 $A, B$ ，过点 $A, B$ 分别作曲线 $C$ 的切线 $l_1, l_2$ ，且 $l_1$ 与 $l_2$ 交于点 $Q$ ，直线 $y=1$ 与 $l_1$ 和 $l_2$ 分别交于点 $M, N$ ，求 $\triangle Q M N$ 面积的最小值。
已知函数 $f(x)=a x^2-x \ln x-a(a \in \mathbf{R}, a>0)$ ，当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \geqslant 0$ 恒成立．
（1）求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若函数 $g(x)=\frac{x^2-1-\ln x}{2 x}-\frac{f(x)}{x}$ ，当实数 $a$ 取最小值时，求使得关于 $x$ 的不等式 $g(x) \geqslant t$ 恒成立的最大整数 $t$ ；
（3）已知 $n \in \mathrm{~N}^{\cdot}$ ，证明： $\ln n+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ．