已知函数 $f(x)=a x^2-x \ln x-a(a \in \mathbf{R}, a>0)$ ，当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \geqslant 0$ 恒成立．
（1）求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若函数 $g(x)=\frac{x^2-1-\ln x}{2 x}-\frac{f(x)}{x}$ ，当实数 $a$ 取最小值时，求使得关于 $x$ 的不等式 $g(x) \geqslant t$ 恒成立的最大整数 $t$ ；
（3）已知 $n \in \mathrm{~N}^{\cdot}$ ，证明： $\ln n+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ．