已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, A=60^{\circ}, D$ 为 $B C$ 上一点，且 $A D=2$ ， $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ ，则 $b+2 c$ 的最大值是
A
$\frac{12 \sqrt{7}}{7}$
B
$4 \sqrt{3}$
C
6
D
$5 \sqrt{2}$
E
F