单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
山东烟台某地种植的苹果按果径 $X$（单位： mm ）的大小分级，其中 $X \in(80,100]$的苹果为特级，且该地种植的苹果果径 $X \sim N(85,25)$ ．若在某一次采摘中，该地果农采摘了 2 万个苹果，则其中特级苹果的个数约为 （参考数据：$X: N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，
$$
P(\mu-\sigma < X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827 . P(\mu-2 \sigma < X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545, P(\mu-3 \sigma < X \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973)
$$
$\text{A.}$ 3000
$\text{B.}$ 13654
$\text{C.}$ 16800
$\text{D.}$ 19946
某物理量的测量结果服从正态分布 $N\left(10, \sigma^2\right)$ ，下列结论中不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\sigma$ 越小，该物理量在一次测量中在 $(9.9,10.1)$ 的概率越大
$\text{B.}$ 该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5
$\text{C.}$ 该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等
$\text{D.}$ 该物理量在一次测量中落在 $(9.9,10.2)$ 与落在 $(10,10.3)$ 的概率相等
若随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，则有如下结论：$(P(|X-\mu| < \sigma)=0.6826, P(|X-\mu| < 2 \sigma)=0.9544$ ， $P(|X-\mu| < 3 \sigma)=0.9974)$ ，高三（1）班有 40 名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为 120 ，方差为 100 ，理论上说在 130 分以上人数约为（ ）
$\text{A.}$ 19
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 5
设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
$\text{A.}$ $P\left(Y \geq \mu_2\right) \geq P\left(Y \geq \mu_1\right)$
$\text{B.}$ $P\left(X \leq \sigma_2\right) \leq P\left(X \leq \sigma_1\right)$
$\text{C.}$ 对任意正数 $t, P(X \leq t) \geq P(Y \leq t)$
$\text{D.}$ 对任意正数 $t, P(X \geq t) \geq P(Y \geq t)$
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
已知某果园的每棵果树生长的果实个数为 $X$ ，且 $X$ 服从正态分布 $N\left(90, \sigma^2\right), X$ 小于 70 的概率为 0.2 ，从该果园随机选取 10 棵果树，其中果实个数在 $[90,110]$ 的果树棵数记作随机变量 $Y$ ，则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ $P(90 \leq X \leq 110)=0.3$
$\text{B.}$ $P(Y=1)=03 \times 0.7^9$
$\text{C.}$ $E(Y)=2$
$\text{D.}$ $D(T)=2.1$
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某工厂车间有 6 台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙 3 名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责 2 台机器；方案二：由甲乙两人共同维护 6 台机器，丙负责其他工作。
（1）对于方案一，设 $X$ 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E(X)$ ；
（2）在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为 $A 、 B$ 两档，当预定 $A$ 档未成功时，系统自动进入 $B$ 档预定，已知获得 $A$ 档门票的概率是 $\frac{1}{5}$ ，若未成功，仍有 $\frac{1}{4}$ 的概率获得 $B$ 档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张 $A$ 档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．
（1）求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；
（2）求乙获得的门票数比甲多的概率．
某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A ，B ，C 三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：
（1）从这 12 人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好来自同一班级的概率；
（2）从这 12 名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选 A，B两款软件学习的概率都是 $\frac{1}{6}$ ，且他们选择 $A, B, C$ 任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件 $C$ 的人数为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列和数学期望．
某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从 A 类 7 道题中任选 4 题进行操作，操作完后正确操作超过两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从 $B$ 类 5 道题中任选 3 题进行操作，直至操作完为止．A类题操作正确得 10 分，$B$ 类题操作正确得 20 分。以两步总分和决定优胜者。总分 80 分或 90 分为二等奖， 100分为一等奖。某校选手李明 $A$ 类 7 题中有 5 题会操作，$B$ 类 5 题中每题正确操作的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各题操作互不影响。
（1）求李明被终止比赛的概率；
（2）现已知李明 $A$ 类题全部操作正确，求李明 $B$ 类题操作完后得分的分布列及期望；
（3）求李明获二等奖的概率．
自2019年底开始，一种新型冠状病毒 COVID－19 开始肆虐全球。人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡。目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为 $p(0 < p < 1)$ ．
（1）若 $p=\frac{1}{3}$ ，现对 4 份样本进行核酸检测，求这 4 份中检验结果为阳性的份数 $\xi$ 的分布列及期望；
（2）若 $p=1-2^{-\frac{1}{4}}$ ，现有 $2 k\left(k \in \mathrm{~N}^*, k \geq 2\right)$ 份样本等待检验，并提供＂$k$ 合1＂检验方案：将 $k\left(k \in \mathrm{~N}^*, k \geq 2\right)$ 份样本混合在一起检验．若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用＂$k$ 合 1 ＂检验方案所需的检验次数 $X$ 的期望 $E(X)$ 与 $2 k$ 的大小．
某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 $2 k-1\left(k \in \mathbf{N}^*\right)$ 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 $p(0 < p < 1)$ ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 $k$ 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 $p_k$（例如：$p_2$ 表示控制系统由 3 个元件组成时设备正常运行的概率；$p_3$ 表示控制系统由 5 个元件组成时设备正常运行的概率）。
（1）若 $p=\frac{2}{3}$ ，当 $k=2$ 时，求控制系统中正常工作的元件个数 $X$ 的分布列和数学期望，并求 $p_3$ ；
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为 $a$ 件，每件产品的利润为 1 元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的 4 倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 $\frac{1}{4}$ ，每件高端产品的利润是 2 元．记设备升级后单位时间内的利润为 $Y$（单位：元）．
（i）请用 $p_k$ 表示 $E(Y)$ ；
（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在。治贫先治愚，扶贫先扶智。为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从 5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分 3 批次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师，且每次派送人员均从这 5 人中随机抽选。已知这 5 名优秀教师中， 2 人有支教经验， 3 人没有支教经验．
（1）求 5 名优秀教师中的＂甲＂，在这 3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数 $X$ 的分布列；
某学校从全体师生中随机抽取 30 位男生、 30 位女生、 12 位教师一起参加社会实践活动．
（1）假设 30 位男生身高均不相同，记其身高的第 80 百分位数为 $\alpha$ ，从学校全体男生中随机选取 3 人，记 $X$ 为 3 人中身高不超过 $\alpha$ 的人数，以频率估计概率求 $X$ 的分布列及数学期望；
（2）从参加社会实践活动的 72 人中一次性随机选出 30 位，记被选出的人中恰好有 $k(k=1,2, \mathrm{~L}, 30)$ 个男生的概率为 $P(k)$ ，求使得 $P(k)$ 取得最大值的 $k$ 的值．
某网络 $A P P$ 在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．
（1）若甲第一关通过的概率为 $\frac{3}{4}$ ，第二关通过的概率为 $\frac{2}{3}$ ，求甲可以进入第三关的概率；
（2）已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 450 分，现要根据得分给共 2500 名参加者中得分前 400名发放奖励，
（1）假设该闯关活动平均分数为 171 分， 351 分以上共有 57 人，已知甲的得分为 270 分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
（2）丙得知他的分数为 430 分，而乙告诉丙：＂这次闯关活动平均分数为 201 分， 351 分以上共有 57 人＂，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．
附：若随机变量 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827 ; P(\mu-2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545$ ；
$$
P(\mu-3 \sigma \leq X \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973 .
$$
2026 年 3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有 12 个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA＿V200W 已知这种球的质量指标 $\xi$（单位：g）服从正态分布 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu=270, \sigma=5$ ．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行 11 场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取 5 局 3 胜制）：比赛中以 3： 0 或 3： 1 取胜的球队积 3 分，负队积 0 分；而在比赛中以 3： 2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分． 9 轮过后，积分榜上的前 2 名分别为 1 班排球队和 2 班排球队， 1 班排球队积 26 分， 2 班排球队积 22 分．第 10 轮 1 班排球队对抗 3 班排球队，设每局比赛 1 班排球队取胜的概率为 $p(0 < p < 1)$ ．
（1）令 $\eta=\frac{\xi-\mu}{\sigma}$ ，则 $\eta \sim N(0,1)$ ，且 $\Phi(a)=P(\eta < a)$ ，求 $\Phi(-2)$ ，并证明：$\Phi(-2)+\Phi(2)=1$ ；
（2）第 10 轮比赛中，记 1 班排球队 $3: 1$ 取胜的概率为 $f(p)$ ，求出 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$ ，并以 $p_0$ 作为 $p$ 的值，解决下列问题．
（i）在第 10 轮比赛中， 1 班排球队所得积分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；
（ii）已知第 10 轮 2 班排球队积 3 分，判断 1 班排球队能否提前一轮夺得冠军（第 10 轮过后，无论最后一轮即第 11 轮结果如何， 1 班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．
参考数据：$X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-\sigma < X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827, P(\mu-2 \sigma < X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545$ ，
$$
P(\mu-3 \sigma < X \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973 .
$$
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审．
（1）求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；
（2）记 $X$ 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 $X$ 的分布列及期望．
厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：
（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.3 ，从中任意取出 4 种进行检验，求至少有 1 件是合格产品的概率；
（2）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件，来进行检验，只有 2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为 1 件和 2 件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率．
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ ， $A_6$ 和 4 名女志愿者 $B_1, B_2, B_3, B_4$ ，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示．
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 $A_1$ 但不包含 $B_1$ 的频率．
（II）用 $X$ 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E X$ ．
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力。每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 $60 \%$ ，参加过计算机培训的有 $75 \%$ 。假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（2）任选 3 名下岗人员，记 $\xi$ 为 3 人中参加过培训的人数，求 $\xi$ 的分布列和期望．