自2019年底开始，一种新型冠状病毒 COVID－19 开始肆虐全球。人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡。目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为 $p(0 < p < 1)$ ．
（1）若 $p=\frac{1}{3}$ ，现对 4 份样本进行核酸检测，求这 4 份中检验结果为阳性的份数 $\xi$ 的分布列及期望；
（2）若 $p=1-2^{-\frac{1}{4}}$ ，现有 $2 k\left(k \in \mathrm{~N}^*, k \geq 2\right)$ 份样本等待检验，并提供＂$k$ 合1＂检验方案：将 $k\left(k \in \mathrm{~N}^*, k \geq 2\right)$ 份样本混合在一起检验．若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用＂$k$ 合 1 ＂检验方案所需的检验次数 $X$ 的期望 $E(X)$ 与 $2 k$ 的大小．