单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} < 0$ ，则使不等式 $f\left(x_1, y_1\right) < f\left(x_2, y_2\right)$ 成立的一个充分条件是（ ）。
$\text{A.}$ $x_1>x_2, y_1 < y_2$ ；
$\text{B.}$ $x_1>x_2, y_1>y_2$ ；
$\text{C.}$ $x_1 < x_2, y_1 < y_2$ ；
$\text{D.}$ $x_1 < x_2, y_1>y_2$ ．
设函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微；
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微；
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在；
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在．
当 $t \rightarrow 0^{+}$时，$f(t)=\iint_{x^2+y^2 \leqslant t^2}\left[1-\cos \left(x^2+y^2\right)\right] \mathrm{d} \sigma$ 是 $t$ 的 $n$ 阶无穷小量，则 $n=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 4 ；
$\text{B.}$ 5 ；
$\text{C.}$ 6 ；
$\text{D.}$ 7 ．
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可以写成（ ）。
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ；
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ；
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ；
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
设 $0 < R \leqslant 1$ ，则二重积分 $I=\iint_{x^2+y^2 \leqslant R^2} \frac{\mathrm{e}^{x^2+y^2}}{1+x y} \mathrm{~d} \sigma=(\quad)$
$\text{A.}$ $4 \iint_{\substack{x^2+y^2 \leq R^2 \\ x \geqslant 0 . y \geqslant 0}} \frac{\mathrm{e}^{x^2+y^2}}{1+x y} \mathrm{~d} \sigma$;
$\text{B.}$ $2 \iint_{\substack{x^2+y^2 \leq R^2 \\ x \geqslant 0}} \frac{\mathrm{e}^{x^2+y^2}}{1+x y} \mathrm{~d} \sigma$;
$\text{C.}$ $4 \iint_{\substack{x^2+y^2 \leqslant R^2 \\ x \geqslant 0, y \leqslant 0}} \frac{\mathrm{e}^{x^2+y^2}}{1+x y} \mathrm{~d} \sigma$;
$\text{D.}$ 0 .
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=f\left(\ln x+\frac{1}{y}\right)$ ，其中函数 $f(u)$ 可微，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y^2 \frac{\partial z}{\partial y}=$
$\left.\operatorname{grad}\left(x y+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=6 \\ x^2+y^2-z^2=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,1,1)$ 处的切线方程为
已知 $f(x, y)=\left(x y+x y^2\right) \mathrm{e}^{x+y}$ ，则 $\frac{\partial^{10} f}{\partial x^5 \partial y^5}=$
已知 $\Omega$ 是位于锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 之上，半球面 $x^2+y^2+(z-a)^2=a^2(z \geqslant$ a）之下的区域，则在球坐标下 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 的累次积分为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $u=\mathrm{e}^{\frac{x}{y}}+z^2$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 确定的隐函数，求 $\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(0,1)}$
设函数 $z=f(x y, y g(x))$ ，其中 $f$ 具有二阶连续的偏导数，$g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$ ，求 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$
求 $\iint_D \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ， $\operatorname{sgn} u=\left\{\begin{array}{cc}1, & u>0 \\ 0, & u=0 \\ -1, & u < 0\end{array}\right.$
计算 $\iiint_{\Omega} \frac{1}{x^2+y^2+(z+2)^2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leqslant 4\right\}$
求曲面 $z=2\left(x^2+y^2\right), x^2+y^2=x, x^2+y^2=2 x$ 和 $z=0$ 所围几何体的体积．
求函数 $z=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2+v^2}{2}}$ 的极值．
已知 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, g(x, y, z)$ 是 $f(x, y, z)$ 在点 $P(x, y$ ， z）沿方向 $l=(1,-1,0)$ 的方向导数：
（1）求 $g(x, y, z)$ ；
（2）若 $P(x, y, z)$ 在椭球面 $2 x^2+y^2+z^2=1$ 上，问 $g(x, y, z)$ 是否有最大值？若有，求此最大值．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $u=f(x, y, z)$ 是可微函数，若 $\frac{f_x}{x}=\frac{f_y}{y}=\frac{f_z}{z}$ ，证明：$u$ 仅为 $r$ 的函数，其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$