单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $A , B$ 均为 $n$ 阶方阵，则必有（ ）
$\text{A.}$ $( A + B )^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{B.}$ $( A B )^{ T }= A ^{ T } B ^{ T }$
$\text{C.}$ $A B=O$ 时，$A=O$ 或 $B=O$
$\text{D.}$ $| A + A B |=0$ 等价于 $| A |=0$ 或 $| E + B |=0$
设向量组（I）： $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha r$ 可由向量组（II）： $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 线性表出，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，向量组（II）必线性相关
$\text{B.}$ 当 $r>s$ 时，向量组（II）必线性相关
$\text{C.}$ 当 $r < s$ 时，向量组（I）必线性相关
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时，向量组（I）必线性相关
设 3 阶矩阵 $A$ 可逆，把矩阵 $A$ 的第 2 行与第 3 行交换得到矩阵 $B$ ，把矩阵 $B$ 的第 1 列的 -3 倍加到第 2 列得到单位矩阵 $E$ ，则 $A ^{-1}=()$ ．
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}a & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 6 \\ -1 & -2 & a & -3\end{array}\right], B$ 为 $4 \times 2$ 非零矩阵，且 $A B = O$ ，则 $\left.\quad\right)$ ．
$\text{A.}$ $a=1$ 时，$B$ 的秩必为 2
$\text{B.}$ $a=1$ 时，$B$ 的秩必为 1
$\text{C.}$ $a \neq 1$ 时，$B$ 的秩必为 1
$\text{D.}$ $a \neq 1$ 时， $B$ 的秩必为 2
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x , A ^{ T }= A$ ，已知 $r( A )=2$ ，并且 $A$ 满足 $A ^2-2 A = O$ ．则可用正交变换化 $f$ 为（1） $2 y_1^2+2 y_2^2$ ，（2） $2 y_1^2$ ，（3） $2 y_1^2+2 y_3^2$ ，（4） $2 y_2^2+2 y_3^2$ 中的 $\left.\quad\right)$ 。
$\text{A.}$ （1）
$\text{B.}$ （3）（4）
$\text{C.}$ （1）（3）（4）
$\text{D.}$ （2）
6．已知非齐次线性方程组 $A x = b$ ，其增广矩阵经初等行变换化为
$$
\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\
0 & a-3 & 2 & 6 & a-1 \\
0 & 0 & a-2 & a & -2 \\
0 & 0 & 0 & -3 & a+1
\end{array}\right],
$$
若方程组无解，则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
$A =\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ 的所有元素的代数余子式 $A_{i j}$ 之和 $\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 A_{i j}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
已知 $\eta _1, \eta _2$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的两个不同的特解， $\xi _1, \xi _2$ 是对应齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系，$k_1, k_2$ 为任意常数，则 $A x = b$ 的通解为（）。
$\text{A.}$ $k_1 \xi_1+k_2\left(\xi_1+\xi_2\right)+\frac{\eta_1-\eta_2}{2}$
$\text{B.}$ $k_1 \xi_1+k_2\left(\xi_1-\xi_2\right)+\frac{\eta_1+\eta_2}{2}$
$\text{C.}$ $k_1 \xi_1+k_2\left( \eta _1+ \eta _2\right)+\frac{ \eta _1- \eta _2}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \xi_1+k_2\left( \eta _1- \eta _2\right)+\frac{ \eta _1+ \eta _2}{2}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A_{11}+A_{22}+A_{33}+A_{44}=$ $\qquad$ ．
设 $A , B$ 是 $n$ 阶方阵，则 $| A |=2,| B |=-4$ ，则 $\left|2 B ^* A ^{-1}\right|=$ $\qquad$ ．
已知 3 阶矩阵 $A$ 的特征值是 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，又 3 阶矩阵 $B$ 满足关系式 $A ^{-1} B A =6 A + B A$ ，则矩阵 $B$ 的特征值是 $\qquad$ ．
设向量组 $\alpha _1=[1,0,-1,2]^{ T }, \alpha _2=[2,-1,-2,4]^{ T }, \alpha _3=[3,1, t, 6]^{ T }$ 线性无关，则参数 $t$ 满足 $\qquad$ ．
已知 $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似于对角矩阵，则 $x, y$ 应满足 $\qquad$ ．
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+a x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 的秩为 2 ，则 $a=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $A =\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right], X A +2 B = A B +2 X$ ，求 $X ^{2020}$ ．
（数学一）已知 $R ^3$ 中的两个基 $\alpha _1=[1,1,0]^{ T }, \alpha _2=[0,1,1]^{ T }, \alpha _3=[1,0,1]^{ T } ; \beta _1= [1,0,0]^{ T }, \beta _2=[1,1,0]^{ T }, \beta _3=[1,1,1]^{ T }$ ．
（1）求 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 到 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 的过渡矩阵；
（2）已知 $\xi$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 $[1,0,2]^{ T }$ ，求 $\xi$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标；
（3）求在上述两个基下有相同坐标的向量．
（数学二、数学三）设 $\alpha _1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4 \\ 2\end{array}\right], \alpha _2=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -2 \\ b\end{array}\right], \alpha _3=\left[\begin{array}{c}-3 \\ -1 \\ a \\ -9\end{array}\right], \beta =\left[\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 10 \\ a+b\end{array}\right]$ ．
(1) 当 $a, b$ 为何值时，$\beta$ 不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出；
(2) 当 $a, b$ 为何值时，$\beta$ 何由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，写出表达式．
设 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & b & -2 \\ b & a & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right]$ ，且 $\alpha=\left[\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right]$ 为矩阵 $A$ 的特征向量．
（1）求 $a, b$ 的值及 $\alpha$ 对应的特征值 $\lambda$ ；
（2）求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵．