单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若集合 $A=\left\{x \mid x^2-2 x-8 < 0, x \in \mathbf{Z}\right\}, B=\{y \mid y=\sqrt{x}, x \in \mathbf{R}\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
$\text{A.}$ $\{0,1,2,3\}$
$\text{B.}$ $\{1,2,3\}$
$\text{C.}$ $\{0,1\}$
$\text{D.}$ $\{0\}$
复数 $z=\frac{\mathrm{i}-2}{1+\mathrm{i}}$, 则 $z$ 的虚部为 $($ $)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{2} \mathrm{i}$
若 $\sin \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)+3 \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=0$, 则 $\sin 2 \alpha=(\quad$ ）
$\text{A.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $\pm \frac{4}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\pm \frac{3}{5}$
若向量 $\boldsymbol{a}=(2,0), \boldsymbol{b}=(3,1)$, 则向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$
$\text{B.}$ $\left(\frac{9}{5}, \frac{3}{5}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{3 \sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}\right)$
$\text{D.}$ $(5,1)$
若 $m>0, n>0$, 且 $3 m+2 n-1=0$, 则 $\frac{3}{m}+\frac{2}{n}$ 的最小值为 ( )
$\text{A.}$ 20
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 25
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A=\frac{\pi}{3}, b=3$, 下面可使得 $\triangle A B C$ 有两组解的 $a$ 的值为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ e
设 $h(x), g(x)$ 是 定 义 在 $\mathbf{R}$ 上的两个函数, 若 $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R}, x_1 \neq x_2$, 有 $\left|h\left(x_1\right)-h\left(x_2\right)\right| \geqslant\left|g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right|$ 佰成立,下列四个命题正确的是( )
$\text{A.}$ 若 $h(x)$ 是奇函数, 则 $g(x)$ 也一定是奇函数
$\text{B.}$ 若 $g(x)$ 是偶函数, 则 $h(x)$ 也一定是偶函数
$\text{C.}$ 若 $h(x)$ 是周期函数, 则 $g(x)$ 也一定是周期函数
$\text{D.}$ 若 $h(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数, 则 $H(x)=h(x)-g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上一定是减函数
已知向量 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=4, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-8, \boldsymbol{c}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2}$, 且 $|\boldsymbol{n}-\boldsymbol{c}|=1$, 则 $n$ 与 $c$ 夹角的最大值为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{12}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知 $c < 0 < b < a$, 则 ( )
$\text{A.}$ $a c+b < b c+a$
$\text{B.}$ $b^3+c^3 < a^3$
$\text{C.}$ $\frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b}$
$\text{D.}$ $\frac{c}{\sqrt{a}}>\frac{c}{\sqrt{b}}$
已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象过点 $A(0,1)$ 和 $B\left(x_0,-2\right)$ $\left(x_0>0\right)$, 且满足 $|A B|_{\text {min }}=\sqrt{13}$, 则下列结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $\varphi=\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\omega=\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ 当 $x \in\left[-\frac{1}{4}, 1\right]$ 时, 函数 $f(x)$ 值域为 $[0,1]$
$\text{D.}$ 函数 $y=x-f(x)$ 有三个零点
巳知 $f(x)=2 x^3-3 x^2+(1-a) x+h$, 则下列结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时, 若 $f(x)$ 有三个零点, 则 $b$ 的取值范围是 $(0,1)$
$\text{B.}$ 当 $a=1$ 且 $x \in(0, \pi)$ 时, $f(\sin x) < f\left(\sin ^2 x\right)$
$\text{C.}$ 若 $f(x)$ 满足 $f(1-x)=2-f(x)$, 则 $a-2 b=2$
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 存在极值点 $x_0$, 且 $f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)$, 其中 $x_0 \neq x_1$, 则 $2 x_0+x_1=\frac{3}{2}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知集合 $A=\left\{x \mid \log _2 x < m\right\}, B=\left\{x \left\lvert\, \frac{x-2}{x-4} \leqslant 1\right.\right\}$, 若 " $x \in A$ " 是 " $x \in B$ " 的充分不必要条件, 则实数 $m$ 的取值范围是
已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数, $f(x+2)$ 为偶函数. 当 $0 < x < 2$ 时, $f(x)=$ $\log _2(x+1)$, 则 $f(101)=$
已知函数 $f(x)=\sin x-x+1$, 若关于 $x$ 的不等式 $f\left(a x \mathrm{e}^x\right)+f\left(-a \mathrm{e}^x-x+2\right)>2$的解集中有且仅有 2 个正整数, 则实数 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 满足 $S_n=1-a_n\left(n \in \mathrm{N}^*\right)$.
(1) 求证: $a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$;
(2) 记 $T_n=S_1^2+S_2^2+\cdots+S_n^2$, 求 $T_n$.
函数 $f(x)=\sin \omega x \cdot \cos \omega x+\cos ^2 \omega x, \omega>0$, 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间以及对称中心;
(2) 将函数 $f(x)$ 的图象先向右平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位, 再向下平移 $\frac{1}{2}$ 个单位, 得到函数 $g(x)$的图象, 在函数 $g(x)$ 图象上从左到右依次取点 $A_1, A_2, \cdots, A_{2024}$, 该点列的横坐标依次为 $x_1, x_2, \cdots, x_{2024}$, 其中 $x_1=\frac{\pi}{4}, x_{n+1}-x_n=\frac{\pi}{3}\left(n \in \mathbf{N}^{\cdot}\right)$, 求 $g\left(x_1\right)+$ $g\left(x_2\right)+\cdots+g\left(x_{2024}\right)$.
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$.
(1) 证明: $\tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}=\frac{\sin A}{1+\cos A}$;
(2) 若 $a, b, c$ 成等比数列.
(i) 设 $\frac{b}{a}=q$, 求 $q$ 的取值范围;
(ii) 求 $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$ 的取值范围.
已知定义在 $(0,+\infty)$ 的两个函数, $f(x)=\sin x \cdot \sin \frac{1}{x}, g(x)=x^a(a>0)$.
(1) 证明: $|\sin x| < x(x>0)$;
(2) 若 $h(x)=\sin x-x^a$ 。证明： 当 $a>1$ 时，存在 $x_0 \in(0,1)$ ，使得 $h\left(x_0\right)>0$ ；
(3) 若 $f(x) < g(x)$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.