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已知定义在 $(0,+\infty)$ 的两个函数, $f(x)=\sin x \cdot \sin \frac{1}{x}, g(x)=x^a(a>0)$.
(1) 证明: $|\sin x| < x(x>0)$;
(2) 若 $h(x)=\sin x-x^a$ 。证明： 当 $a>1$ 时，存在 $x_0 \in(0,1)$ ，使得 $h\left(x_0\right)>0$ ；
(3) 若 $f(x) < g(x)$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.
                        
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