函数 $f(x)=\sin \omega x \cdot \cos \omega x+\cos ^2 \omega x, \omega>0$, 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间以及对称中心;
(2) 将函数 $f(x)$ 的图象先向右平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位, 再向下平移 $\frac{1}{2}$ 个单位, 得到函数 $g(x)$的图象, 在函数 $g(x)$ 图象上从左到右依次取点 $A_1, A_2, \cdots, A_{2024}$, 该点列的横坐标依次为 $x_1, x_2, \cdots, x_{2024}$, 其中 $x_1=\frac{\pi}{4}, x_{n+1}-x_n=\frac{\pi}{3}\left(n \in \mathbf{N}^{\cdot}\right)$, 求 $g\left(x_1\right)+$ $g\left(x_2\right)+\cdots+g\left(x_{2024}\right)$.