设 $h(x), g(x)$ 是 定 义 在 $\mathbf{R}$ 上的两个函数, 若 $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R}, x_1 \neq x_2$, 有 $\left|h\left(x_1\right)-h\left(x_2\right)\right| \geqslant\left|g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right|$ 佰成立,下列四个命题正确的是( )
A
若 $h(x)$ 是奇函数, 则 $g(x)$ 也一定是奇函数
B
若 $g(x)$ 是偶函数, 则 $h(x)$ 也一定是偶函数
C
若 $h(x)$ 是周期函数, 则 $g(x)$ 也一定是周期函数
D
若 $h(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数, 则 $H(x)=h(x)-g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上一定是减函数
E
F