单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 如果函数极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 则数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=A$
$\text{B.}$ 如果数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=A$, 则函数极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$
$\text{C.}$ 如果数列 $x_n \rightarrow x_0$ 且 $x_n \neq x_0$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 的间断点必然是跳跃间断点
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导, 则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{B.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0$
$\text{C.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$
设 $\varphi(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的邻域内连续且 $\varphi(0,0)=0$, 则函数 $f(x, y)=(|x|+|y|) \varphi(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 可微
$\text{B.}$ 连续但偏导数不存在
$\text{C.}$ 偏导数连续
$\text{D.}$ 偏导数存在但不可微
设方程 $\ln x=k x$ 只有两个正实根, 则 $k$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(-\infty, e)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则累次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x-1}^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 {~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta-\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
下列级数中条件收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$
$\text{B.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \ln (1+n)}$
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s ; \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t ; \boldsymbol{\gamma}$, 如果
$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right) < r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right), r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t, \boldsymbol{\gamma}\right)
$$
则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 但能被 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示
$\text{B.}$ $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\text{C.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关
$\text{D.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 能被向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 如果对任意 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$, 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则 $m \geqslant n$
$\text{B.}$ 如果 $r(A)=m$, 则对任意 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$, 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解
$\text{C.}$ 对任意 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$, 方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 有解
$\text{D.}$ 如果 $r(\boldsymbol{A})=n$, 则对任意 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$, 方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解
设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$, 如果 $c>0$ 使得 $\mathbb{P}(0 < X < c)=\alpha$, 则 $\mathbb{P}\left(Y>c^2\right)=$ （）
$\text{A.}$ $1-\alpha$
$\text{B.}$ $\alpha$
$\text{C.}$ $1-2 \alpha$
$\text{D.}$ $2 \alpha$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 是来自总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 令 $\alpha=\sum_{i=1}^n X_i, \beta=\sum_{i=1}^n X_i^2$, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ $\frac{\alpha^2}{n \sigma^2}$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{B.}$ $\frac{\beta}{\sigma^2}$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $\frac{\alpha^2}{\beta}$ 服从 $F$ 分布
$\text{D.}$ $\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从 $F$ 分布
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{1-\sqrt{\cos 2 x}}=$
极坐标曲线 $r=1+\cos \theta$ 在 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 对应的点处的法线方程为
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解为
设函数 $f(x)=x-[x]$, 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 令
$$
a_n=\int_{-1}^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x, b_n=\int_{-1}^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots .
$$
令 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \pi x+b_n \sin n \pi x\right),-\infty < x < +\infty$, 则 $S(-5)=$
已知三元方程 $a\left(x^2+y^2+z^2\right)+2(x y+y z+z x)=1$ 对应的空间曲面为双叶双曲面, 则 $a$ 的取值范围是
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X$ 服从参数为 1 的指数分布, $Y$ 的分布为 $\mathbb{P}(Y=1)=$ $\frac{1}{4}, \mathbb{P}(Y=2)=\frac{3}{4}$, 则 $\mathbb{P}(1 \leqslant \min \{X, Y\} < 2)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=1$. 设 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $u(x)$, 计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(u(x))}{f(x)}$.
设平面区域 $D_1$ 由曲线 $y=|x|$, 直线 $x=-1, x=a, y=0$ 所围成, 平 面区域 $D_2$ 由曲线 $y=|x|$, 直线 $x=a, x=1, y=0$ 所围成, 其中 $0 < a < 1$.
(1) 求 $D_1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V_1, D_2$ 绕直线 $x=a$ 旋转所得旋转体的体积 $V_2$.
(2) 求 $V_1+V_2$ 的最小值.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=1$, 且有
$$
f^{\prime}(x)+3 \int_0^x f^{\prime}(t) \mathrm{d} t+2 x \int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}=0,
$$
求 $f(x)$.
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 介于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间部分的下侧, $f(x)$ 为连续函数, 计算
$$
I=\iint_{\Sigma}[-x f(x+y)-2 x] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[-2 y-y f(x+y)] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[-z f(x+y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
已知 1 是三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值, 且
$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -2 \\
2 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 4 \\
0 & -4 \\
0 & 2
\end{array}\right)
$$
(1) 求 $A$ 的所有特征值和对应的特征向量.
(2) 如果 $\boldsymbol{\beta}=(-1,1,-5)$, 求 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\beta}$.
(3) 设向量 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$, 求方程 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ 的通解.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{\lambda^2}{2}|x| \mathrm{e}^{-\lambda|x|},-\infty < x < +\infty
$$
其中末知参数 $\lambda>0,\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求参数 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_1$.
(2) 求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}_2$.
(3) 计算 $\mathbb{E}\left(\frac{1}{\hat{\lambda}_1^2}\right)$.