单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
财神庙举办抽发财金活动：参加者抽两次签，每次抽签出现「吉」「祥」的机率皆为 $\frac{1}{3}$ 。如果两次都抽得「吉」，获得奖金 180 元；如果两次都抽得「祥」，获得奖金 90 元；其余情况则无奖金。试问参加者可获奖金的期望值为何？
$\text{A.}$ 20 元
$\text{B.}$ 30 元
$\text{C.}$ 45 元
$\text{D.}$ 60 元
$\text{E.}$ 90元
对任一实数 $a$ ，令 $[a]$ 代表满足 $[a] \leq a < [a]+1$ 的整数，例如：$[3]=3$ ，$[3.1]=3$ ，$[-3.1]=-4$ 。关于函数 $f(x)=[\sqrt{99-x}]+[\sqrt{99+x}]$ ，其中 $-99 \leq x \leq 99$ ；试选出正确的选项。
$\text{A.}$ $f(-20) \leq f(0) < f(1)$
$\text{B.}$ $f(-20) < f(1) \leq f(0)$
$\text{C.}$ $f(1) < f(-20) \leq f(0)$
$\text{D.}$ $f(0) < f(-20) \leq f(1)$
$\text{E.}$ $f(0) \leq f(1) < f(-20)$
设 $f(x)=a^x$ ，其中 $a$ 为正实数。已知 $c_1, c_2, c_3$ 是公差为 $\frac{10}{3}$ 的等差数列，且 $f\left(c_1\right), f\left(c_2\right), f\left(c_3\right)$是公比为 4 的等比数列。则等比数列 $f(10), f(8), f(6)$ 的公比为何？
$\text{A.}$ $2^{\frac{-6}{5}}$
$\text{B.}$ $2^{\frac{-3}{5}}$
$\text{C.}$ $2^{\frac{3}{5}}$
$\text{D.}$ $2^{\frac{6}{5}}$
$\text{E.}$ $2^{\frac{5}{3}}$
某网游有 16 种材料，其中 6 种为基本材料， 10 种为进阶材料。任选 3 种不同材料可以合成出草药、食物、药水中的 1 类道具，其合成规则如下：若 3 种材料均为基本材料，则合成结果必为同一种草药；若 3 种材料中 2 种为基本材料、 1 种为进阶材料，则合成结果会根据不同的进阶材料得到不同种的食物，但不会受到基本材料不同而改变；其他的组合都会合成出不同种的药水。试问此网游总共可合成出多少种道具？
$\text{A.}$ 256
$\text{B.}$ 370
$\text{C.}$ 401
$\text{D.}$ 455
$\text{E.}$ 560
已知实数三阶方阵 $A$ 满足 $A\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right], A\left[\begin{array}{r}0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], A\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$ 。试问有多少个行向量 $\vec{v}=\left[\begin{array}{l}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{array}\right]$ 满足 $A \vec{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$ 且 $\vec{v}$ 垂直於行向量 $\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$ ？
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 无穷多个
$\text{E.}$ 0个
坐标平面上有 $A(2,-2), B(-1,2)$ 两点，试问直线 $y=-6$ 上有多少个点 $C$ 使得 $\triangle A B C$ 为等腰三角形？
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
$\text{E.}$ 5
多选题 （共 6 题 ），每题有多个选项正确
坐标平面上同时满足 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y-3>0 \\ x+2 y+1 < 0\end{array}\right.$ 的点 $P(x, y)$ 可能位在下列哪些选项？
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
$\text{E.}$ $x$ 轴
已知 $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ ，且对所有正整数 $n \geq 2$ ，令 $A^n=\left[\begin{array}{ll}a_n & b_n \\ c_n & d_n\end{array}\right]$ 。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ $b_2 < c_2$
$\text{B.}$ $A^2=2 A+\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $c_{n+2}=c_{n+1}+2 c_n$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{ll}a_n & b_n \\ c_n & d_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}b_{n+1} \\ d_{n+1}\end{array}\right]$
$\text{E.}$ $d_{2 n}-a_{2 n}=\left(d_n\right)^2-\left(a_n\right)^2$
$T$ 分数为评量成绩的一种方式，其计算方式如下：设全班平均成绩为 $\mu$ 且标准差为 $\sigma$ 。若某生原始成绩为 $S$ ，则他该科之 $T$ 分数为 $T=50+10\left(\frac{S-\mu}{\sigma}\right)$ 。已知某班期末数学和英文两科的平均成绩皆为 60 ，数学成绩的标准差为 12 ，英文成绩的标准差为 8 。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ 若甲生英文的原始成绩为 52 ，则其 $T$ 分数为 40
$\text{B.}$ 各生数学的 $T$ 分数不会超过其原始成绩
$\text{C.}$ 若乙生两科的原始成绩平均比丙生两科的原始成绩平均高，则乙生两科的 $T$ 分数平均比丙生两科的 $T$ 分数平均高
$\text{D.}$ 若该班级两科的及格标准均为 $T$ 分数大于或等于 40 ，则数学及格的原始成绩比英文及格的原始成续低
$\text{E.}$ 该班原始成续数学对英文的迴归直线（即最适直线）之斜率与该班 $T$ 分数数学对英文的迴归直线之斜率相同
已知四边形 $A B C D$ 中，$\overline{A B}$ 平行 $\overline{D C}, \overline{A C}$ 与 $\overline{B D}$ 交于 $E$ 。若 $\overrightarrow{A B}=(2,-6), \overrightarrow{A D}=(1,5)$ 且 $\triangle A B E$面积为 3 。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ $\cos \angle B A D=\frac{-7 \sqrt{65}}{65}$
$\text{B.}$ $\triangle A B D$ 面积为 9
$\text{C.}$ $\overrightarrow{A E}=\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$\text{D.}$ 四边形 $A B C D$ 面积为 $\frac{65}{3}$
$\text{E.}$ $\overline{B C} < \frac{8}{3}$
令 $\Gamma$ 为坐标平面上 $y=\cos \left(\frac{\pi}{2} x\right)$ 的图形。对任一实数 $m \neq 0$ ，以 $L_m$ 表示直线 $y=m x+1$ 。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ $m>0$ 时，$L_m$ 和 $\Gamma$ 交点的 $x$ 坐标皆为负
$\text{B.}$ 若 $(a, b)$ 为 $L_m$ 和 $\Gamma$ 的交点，则 $(-a, b)$ 为 $L_{-m}$ 和 $\Gamma$ 的交点
$\text{C.}$ 可以找到一实数 $m \neq 0$ 使得 $L_m$ 和 $\Gamma$ 交于点 $\left(\frac{20}{3}, \frac{1}{2}\right)$
$\text{D.}$ 若 $L_m$ 与 $\Gamma$ 有一交点在直线 $y=-1$ 上，则 $\frac{1}{m}$ 是奇数
$\text{E.}$ 若 $L_m$ 与 $\Gamma$ 有一交点在 $x$ 轴上，则 $L_m$ 与 $\Gamma$ 有偶数个交点
令 $f(x) 、 g(x)$ 为实系数三次多项式且 $f(x)$ 的首项係数为 1 ，已知 $f(x)-g(x)=2 x^3+2 x$ 。令 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在坐标平面上的函数图形，其对称中心分别为 $\left(a_1, b_1\right),\left(a_2, b_2\right)$ 。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 恰交于三点
$\text{B.}$ $a_1+a_2$ 可唯一确定
$\text{C.}$ $b_1+b_2$ 可唯一确定
$\text{D.}$ 若 $a_1=a_2$ ，则 $b_1=b_2$
$\text{E.}$ 若 $b_1=b_2$ ，则 $a_1=a_2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
某高中聘用的全体教师 $\frac{1}{4}$ 只有学士学位，$\frac{3}{4}$ 有硕士学位。只有学士学位的教师中有 $\frac{1}{5}$通过英听检定，有硕士学位的教师中有 $\frac{3}{5}$ 通过英㯖检定。已知每位教师被抽到的机会相等，若随机抽选一位通过英听检定的教师，则该教师有硕士学位的条件机率为
坐标平面上，向量 $(a, b)$ 与直线 $y=b x-1$ 垂直，则 $a+b$ 的最大可能值为
已知三正数 $a, b, c$ 成一等差数列，其中 $a < b < c$ ，且坐标平面上三点 $(a, \log 3 a) 、(b, \log 4 b)$ 、 $(c, \log 6 c)$ 在同一直缐上，则 $\frac{b}{a}$ 之值为
坐标平面上，已知二次函数图形 $\Gamma: y=f(x)$ 的顶点 $P$ 在直线 $y=1+2 x$ 上，且交 $x$ 轴于点 $A\left(-\frac{1}{2}, 0\right), B\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 。将 $\Gamma$ 平移使得平移后图形的顶点 $Q$ 仍在直线 $y=1+2 x$ 上，且亦通过点 $B\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ ，此时 $P, Q$ 为两相异点，则 $\overline{P Q}= $
直角 $\triangle A B C$ 中，$\angle C A B$ 为直角，$\overline{A B}$ 边上一點 $D$ ，滿足 $\angle B C D=2 \angle A C D$ ，且 $\overline{B C}=2 \overline{B D}$ 。若 $\overrightarrow{A D}=k \overrightarrow{A B}$ ，則 $k=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
坐标空间中有一平行六面体 $P Q R S-A B C D$ ，如图所示。已知 $\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}=(-5,5,5) 、 \overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A P}=(-2,0,-4)$ ，$\overrightarrow{A P} \times \overrightarrow{A B}=(6,-10,-8), \overrightarrow{A P}=6$ 。试回答下列问题。
1. 试问平行四边形 $A B C D$ 的面积为何？（单选题）
（1） $2 \sqrt{5}$
（2） $5 \sqrt{2}$
（3） $5 \sqrt{3}$
（4） $6 \sqrt{3}$
（5） $10 \sqrt{2}$
2.设 $B$ 点坐标为 $(1,2,0)$ ，试求平面 $A B C D$ 的平面方程式。
3.试求平行六面体的体积，并求平行六面体上（含边界）距点 $A$ 的最长距离