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坐标平面上，已知二次函数图形 $\Gamma: y=f(x)$ 的顶点 $P$ 在直线 $y=1+2 x$ 上，且交 $x$ 轴于点 $A\left(-\frac{1}{2}, 0\right), B\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 。将 $\Gamma$ 平移使得平移后图形的顶点 $Q$ 仍在直线 $y=1+2 x$ 上，且亦通过点 $B\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ ，此时 $P, Q$ 为两相异点，则 $\overline{P Q}= $
                        
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