单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $A, B$ 均为 $n$ 阶可逆方阵，$k$ 为常数，则下列命题不正确的是
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{B.}$ $(A+B)^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$
$\text{C.}$ $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$
$\text{D.}$ $|k A B|=k^n|A||B|$
设 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$B$ 是 $4 \times 3$ 矩阵，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $A B x=0$ 必有非零解
$\text{B.}$ $A B x=0$ 只有零解
$\text{C.}$ $B A x=0$ 必有非零解
$\text{D.}$ $B A x=0$ 只有零解
设 $A, B$ 均为 3 阶可逆方阵，若交换 $A$ 的第一行与第三行得方阵 $B$ ，则下列叙述正确的是
$\text{A.}$ 交换 $A^{-1}$ 的第一行与第三行得 $B^{-1}$
$\text{B.}$ 交换 $A^{-1}$ 的第一列与第三列得 $B^{-1}$
$\text{C.}$ 交换 $A^{-1}$ 的第一行与第三行得 $-B^{-1}$
$\text{D.}$ 交换 $A^{-1}$ 的第一列与第三列得 $-B^{-1}$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B$ ．
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但是不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 不合同不相似
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是线性无关的，则下列向量组中相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_1-\alpha_3$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=P \boldsymbol{y}$ 下的标准型为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，若 $Q=\left(\alpha_1,-\alpha_3, \alpha_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在 $\boldsymbol{x}=Q \boldsymbol{y}$ 下的标准型为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 3 阶方阵 $A$ 的行列式 $|A|=\frac{1}{2}, A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|4 A A^*\right|=$
已知 $A=P \Lambda Q$ ，其中 $P=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right), Q=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right), Q P=I$ （ $I$ 是 2 阶单位矩阵），则 $A^8=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1\end{array}\right)$ ，且 $r(A)=2$ ，则 $a=$
设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 为 4 元非齐次线性方程组 $A x=b$ 的三个解向量，系数矩阵 $A$ 的秩为 $3, \eta_1+\eta_2=(3,4,5,6)^{\mathrm{T}}, \eta_3=(1,2,3,4)^{\mathrm{T}}$ ，则该方程组的一般解为
若 3 阶方阵 $A$ 与 $B$ 相似，$I$ 为 3 阶单位矩阵，$A$ 的特征值为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，则行列式 $\left|B^{-1}-I\right|=$
已知 $A=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & a \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right)$ 可对角化，则 $a=$
解方程组
$$
\left\{ \begin{array}{r}
x_1+x_2+a x_3=1 \\
x_1+a x_2+x_3=1\\
a x_1+x_2+x_3=-2
\end{array}
\right.
$$
讨论 $a$ 取何值时，线性方程组 解、有无穷多解、有唯一解，并且在有无穷多解时求出方程组的一般解．
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1^2+5 x_2^2+c x_3^2+2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-4 x_2 x_3$ ，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12 ，
（1）求 $c$ 的值；
（2）正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵 $Q$ ；
（3）写出它的规范型；
（4）分析此二次型是否是正定二次型．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $n+1$ 阶行列式的值：$\left|\begin{array}{cccccc}-a_1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -a_2 & a_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_n & a_n \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\end{array}\right|$
设向量组 $\alpha_1=(-1,1,2,4)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(-1,-1,1,5)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(0,2,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ， $\alpha_4=(-2,4,5,7)^{\mathrm{T}}, \alpha_5=(1,1,-1,-5)^{\mathrm{T}}$ ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $A^* X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$
已知 $\mathrm{R}^2$ 的两组基
$$
\alpha_1=(1,-1)^{\mathrm{T}}, \quad \alpha_2=(1,0)^{\mathrm{T}} ; \quad \beta_1=(1,2)^{\mathrm{T}}, \quad \beta_2=(3,5)^{\mathrm{T}} .
$$
（1）求从基 $\alpha_1, \alpha_2$ 到基 $\beta_1, \beta_2$ 的过渡矩阵 $A$ ；
（2）已知 $\gamma$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2$ 下的坐标为 $(1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\gamma$ 在基 $\beta_1, \beta_2$ 下的坐标．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p$ 是齐次线性方程组 $\mathrm{A} x=0$ 的一个基础解系，向量 $\beta$ 满足 $\mathrm{A} \beta \neq 0$ ，证明：向量组 $\beta, \beta+\alpha_1, \beta+\alpha_2, \cdots, \beta+\alpha_p$ 线性无关．