集合与逻辑训练-章节测试

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集合与逻辑训练-章节测试

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 命题＂

\exists x_{0} \geq 0, 2^{x} + x_{0} - a \leq 0

＂的否定是

A.

\forall x \leq 0, 2^{x} + x - a \leq 0

B.

\forall x \geq 0, 2^{x} + x - a > 0

C.

\exists x_{1} \leq 0, 2^{x} + x_{0} - a > 0

D.

\exists x_{0} \geq 0, 2^{x} + x_{0} - a > 0

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2. 已知集合

A = {x \in N ∣ - 5 < 2 x - 1 < 3}

，则集合 A 的子集的个数为（）

A.

B.

C.

D.

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3. 若集合

M = {x | x^{\frac{1}{2}} < 9}, N = {x ∣ x^{2} \geq 1}

，则

M \cap N = ()

A.

{x ∣ x \leq - 1

或

1 \leq x < 3}

B.

{x ∣ 1 \leq x < 3}

C.

{x ∣ 1 \leq x < 81}

D.

{x ∣ x \leq - 1

或

1 \leq x < 81}

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4. ＂

\cos α = \frac{1}{2} "

是＂

\cos 2 α = - \frac{1}{2} "

的（）

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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5. 设集合

A = {x ∣ x < a^{2}}, B = {x ∣ x > a}

，若

A \cap C_{R} B = A

，则实数

a

的取值范围为

A.

[0, 1]

B.

0,1 ）

C.

(0, 1)

D.

(- \infty, 0] \cup [1, + \infty)

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6. 已知集合

A = {x | | x - 1 ∣> 2}

，集合

B = {x ∣ m x + 1 < 0}

，若

A \cup B = A

，则

m

的取值范围是

A.

[- \frac{1}{3}, 0]

B.

[- \frac{1}{3}, 1]

C.

[0, 1]

D.

[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1]

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7. 设

U

是一个非空集合，

F

是

U

的子集构成的集合，如果

F

同时满足：（1）

\emptyset \in F

，（2）若

A, B \in F

，则

A \cap (C_{U} B) \in F

且

A \cup B \in F

，那么称

F

是

U

的一个环，下列说法错误的是

A.

若

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

，则

F = {\emptyset, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, U}}

是

U

的一个环

B.

若

U = {a, b, c}

，则存在

U

的一个环

F, F

含有 8 个元素

C.

若

U = Z

，则存在

U

的一个环

F, F

含有 4 个元素且

{2}, {3, 5} \in F

D.

若

U = R

，则存在

U

的一个环

F, F

含有 7 个元素且

[0, 3], [2, 4] \in F

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

8. 下列命题中正确的是（）

A.

\exists x \in (0, + \infty), 2^{x} > 3^{x}

B.

\exists x \in (0, 1), \log_{2} x < \log_{3} x

C.

\forall x \in (0, + \infty), {(\frac{1}{2})}^{x} > \log_{\frac{1}{3}} x

D.

\forall x \in (0, \frac{1}{3}), {(\frac{1}{2})}^{x} < \log_{\frac{1}{3}} x

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9. 若

a, b

为正实数，则

a > b

的充要条件为（）

A.

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

B.

\ln a > \ln b

C.

a \ln a < b \ln b

D.

a - b < e^{a} - e^{b}

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10.

\forall x \in R, [x]

表示不超过

x

的最大整数．十八世纪，

y = [x]

被＂数学王子＂高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为＂取整函数＂。则下列命题中正确的是（）

A.

\forall x \in [- 1, 0], [x] = - 1

B.

\exists x \in R, x \geq [x] + 1

C.

\forall x, y \in R, [x] + [y] \leq [x + y]

D.

函数

y = x - [x] (x \in R)

的值域为

[0, 1)

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11. ＂关于

x

的不等式

x^{2} - 2 a x + a > 0

对

\forall x \in R

恒成立＂的一个必要不充分条件是

A.

0 < a < 1

B.

0 ⩽ a ⩽ 1

C.

0 < a < \frac{1}{2}

D.

a ⩾ 0

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三、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 设集合

A = {x ∣ \sqrt{x} < 4}, B = {x ∣ (x - a) (x - 1) < 0}

，且

A \supseteq B

，则

a

的取值范围是

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13. 已知有限集合

A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}}

，定义集合

B =

{a_{i} + a_{j} ∣ 1 \leq i < j \leq n, i, j \in N^{*}}

中的元素的个数为集合

A

的＂容量＂，记为

L (A)

．若集合

A =

{x \in N^{*} ∣ 1 \leq x \leq 3}

，则

L (A) =

；若集合

A = {x \in N^{*} ∣ 1 \leq x \leq n}

，且

L (A) = 4041

，则正整数

n

的值是

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四、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 已知命题

p : \exists x \in R, x^{2} - 2 x + a^{2} = 0

，命题

p

为真命题时实数

a

的取值集合为

A

．
（1）求集合

A

；
（2）设集合

B = {a ∣ 2 m - 3 ⩽ a ⩽ m + 1}

，若

x \in B

是

x \in A

的必要不充分条件，求实数

m

的取值范围。

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15. 求证：关于

x

的方程

x^{2} + 2 a x + b = 0

有实数根，且两根均小于 2 的一个充分条件是

a \geq 2

且

| b | \leq 4

．

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16. （1）已知命题

r : \exists x_{0} \in R

，使得

a x_{0}^{2} - 2 x_{0} - 1 > 0

成立；若命题

r

为假命题，求实数

a

的取值范围；
（2）已知

p : | x - 1 | \leq 2, q : x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} < 0 (a > 0)

，若

p

是

q

的必要不充分条件，求实数

a

的取值范围．

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17. 已知幂函数

f (x) = (m - 1)^{2} x^{m^{2} - 4 m + 2}

在

(0, + \infty)

上单调递增，函数

g (x) = 2 x - k

．
（1）求

m

的值；
（2）当

x \in [1, 2)

时，记

f (x), g (x)

的值域分别为集合

A, B

，设

p : x \in A, q : x \in B

，若

p

是

q

成立的必要条件，求实数

k

的取值范围．
（3）设

F (x) = f (x) - k x + 1 - k^{2}

，且

| F (x) |

在［0，1］上单调递增，求实数

k

的取值范围．

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