单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶可逆方阵, 则下列等式成立的是
$\text{A.}$ $\left|( A B )^{-1}\right|=| A |^{-1}| B |^{-1}$;
$\text{B.}$ $|- A B |=| A B |$;
$\text{C.}$ $\left|A^2-B^2\right|=|A+B \| A-B|$;
$\text{D.}$ $|2 A|=2|A|$.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}9 & x & 1 \\ x & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right), A^*$ 为方阵 $A$ 的伴随矩阵, 且 $A^* x=0$ 只有零解, 则
$\text{A.}$ $x=-4$;
$\text{B.}$ $x=6$;
$\text{C.}$ $x=-4$ 或 $x=6$;
$\text{D.}$ $x \neq-4$ 且 $x \neq 6$.
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m（m>1）$ 线性相关，则任一向量 $\alpha_i(1 \leq i \leq m)$ 可由其余向量线性表出.
$\text{B.}$ 若 有 不 全 为 0 的 数 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m \quad(m>1)$ ，使 $i_1 \alpha_1+\lambda_2 \alpha_2+\cdots+\lambda_m \alpha_m+\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots+\lambda_m \beta_m=o$ 成立，则向量组 $\alpha_1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m$ 线性相关，向量组 $\beta _1, \beta _2, \ldots, \beta _m$ 亦线性相关.
$\text{C.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m( m >1)$ 中任意两个向量线性无关，则 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m$ 线性无关.
$\text{D.}$ 若向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m(m>1)$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出，则晌量组 $\alpha _1, \alpha , \ldots, \alpha _m$ 线性无关.
设矩阵 $A=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$, 其中 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关, $\alpha _1+ \alpha _2+ \alpha _3+ \alpha _4= 0$, 向量 $b=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4, c_1, c_2$ 表示任意常数, 则非齐次线性方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$.
已知 3 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似, 相似变换矩阵为 $P$, 且 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), P$ 按列分块为 $P=\left(p_1, p_2, p_3\right)$, 设 $Q=\left(2 p_3, p_1, p_1+p_2\right)$, 则 $Q^{-1} A Q=$.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知四阶行列式 $D$ 的第三行元素分别为: $-1,0,2,4$; 第四行元素对应的代数余子式依次是 $2,10, x, 4$, 则 $x=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $(A-3 E)^{-1}\left(A^2-9 E\right)=$
已知 $R ^3$ 的两组基分别为 $\alpha_1=(1,1,1)^T, \alpha_2=(1,0,-1)^T, \alpha_3=(1,0,1)^T$ 和 $\beta_1=(1,2,1)^T$, $\beta_2=(2,3,4)^T, \beta_3=(3,4,3)^T$, 则基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵
设 $n(n>2)$ 阶方阵 $A$ 的特征值分别为整数 $-(n-1),-(n-2), \ldots,-2,-1,0$, 且方阵 $B$ 与方阵 $A$ 相似, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, 则 $|B+n E|=$
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=t\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2$ 为正定二次型, 则参数 $t$ 的取值范围为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 3 \\ 5\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}4 \\ -2 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)$ 的秩和一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表出.
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -2\end{array}\right)$, 计算：（1） $|A| $ ;（2） $A^2$ ;（3） $A^{2023}$.
问 $t$ 取何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}t x_1-x_2+x_3=2, \\ 2 x_1+t x_2-x_3=1, \\ -2 x_1+x_2-x_3=1\end{array}\right.$ 无解, 有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求出方程组的通解。
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & y\end{array}\right)$ 有特征向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$,
（1）计算 $A \alpha_1$ ，指出 $\alpha_1$ 对应的特征值，并确定 $x, y$ 的值;
（2）求 $A$ 的所有特征值;
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$, 其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}5 & -4 & 2 \\ -4 & 5 & -2 \\ 2 & -2 & 2\end{array}\right), x=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)$, 请:
(1) 求方阵 $A$ 的特征值与特征向量；
(2) 求一个正交变换 $x=P y$ 把二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化成标准形, 并写出标准形.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $R^3$ 的一组基, $\beta_1=\alpha_1+t \alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \beta_3=\alpha_1+s \alpha_3$, 其中 $t, s$ 为参数, 证明: 当 $t+s \neq 0$ 时, $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 也是三维向量空间 $R^3$ 的一组基.