西南交通大学《线性代数》2022-2023 学年第(1)学期考试试卷

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西南交通大学《线性代数》2022-2023 学年第(1)学期考试试卷

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A, B

均为

n

阶可逆方阵, 则下列等式成立的是

A.

| (A B)^{- 1} | = | A |^{- 1} | B |^{- 1}

;

B.

| - A B | = | A B |

;

C.

| A^{2} - B^{2} | = | A + B ∥ A - B |

;

D.

| 2 A | = 2 | A |

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2. 设

A = (\begin{array}{lll} 9 & x & 1 \\ x & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}), A^{*}

为方阵

A

的伴随矩阵, 且

A^{*} x = 0

只有零解, 则

A.

x = - 4

;

B.

x = 6

;

C.

x = - 4

或

x = 6

;

D.

x \neq - 4

且

x \neq 6

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3. 下列命题中正确的是

A.

若向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m} （ m > 1 ）

线性相关，则任一向量

α_{i} (1 \leq i \leq m)

可由其余向量线性表出.

B.

若有不全为 0 的数

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m} (m > 1)

，使

i_{1} α_{1} + λ_{2} α_{2} + \dots + λ_{m} α_{m} + λ_{1} β_{1} + λ_{2} β_{2} + \dots + λ_{m} β_{m} = o

成立，则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性相关，向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}

亦线性相关.

C.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m} (m > 1)

中任意两个向量线性无关，则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性无关.

D.

若向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m} (m > 1)

中任意一个向量都不能用其余向量线性表出，则晌量组

α_{1}, α, \dots, α_{m}

线性无关.

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4. 设矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

, 其中

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关,

α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4} = 0

, 向量

b = α_{1} - α_{2} + α_{3} - α_{4}, c_{1}, c_{2}

表示任意常数, 则非齐次线性方程组

A x = b

的通解为

A.

c_{1} (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

;

B.

c_{1} (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + c_{2} (\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

;

C.

(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

;

D.

c_{1} (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

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5. 已知 3 阶矩阵

A

与对角阵相似, 相似变换矩阵为

P

, 且

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), P

按列分块为

P = (p_{1}, p_{2}, p_{3})

, 设

Q = (2 p_{3}, p_{1}, p_{1} + p_{2})

, 则

Q^{- 1} A Q =

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

;

B.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

;

C.

(\begin{array}{lll} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

;

D.

(\begin{array}{lll} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 已知四阶行列式

D

的第三行元素分别为:

- 1, 0, 2, 4

; 第四行元素对应的代数余子式依次是

2, 10, x, 4

, 则

x =

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7. 设

A = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

, 则

(A - 3 E)^{- 1} (A^{2} - 9 E) =

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8. 已知

R^{3}

的两组基分别为

α_{1} = (1, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, 0, - 1)^{T}, α_{3} = (1, 0, 1)^{T}

和

β_{1} = (1, 2, 1)^{T}

β_{2} = (2, 3, 4)^{T}, β_{3} = (3, 4, 3)^{T}

, 则基

α_{1}, α_{2}, α_{3}

到基

β_{1}, β_{2}, β_{3}

的过渡矩阵

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9. 设

n (n > 2)

阶方阵

A

的特征值分别为整数

- (n - 1), - (n - 2), \dots, - 2, - 1, 0

, 且方阵

B

与方阵

A

相似,

E

为

n

阶单位矩阵, 则

| B + n E | =

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10. 已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = t (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) + 2 x_{1} x_{2}

为正定二次型, 则参数

t

的取值范围为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 求向量组

α_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \end{array}), α_{4} = (\begin{array}{l} 4 \\ - 2 \\ 5 \\ 6 \end{array})

的秩和一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表出.

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12. 设

A = (\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 4 & - 2 \end{array})

, 计算：（1）

| A |

;（2）

A^{2}

;（3）

A^{2023}

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13. 问

t

取何值时, 线性方程组

{\begin{cases} t x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2, \\ 2 x_{1} + t x_{2} - x_{3} = 1, \\ - 2 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1 \end{cases}

无解, 有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求出方程组的通解。

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14. 设

A = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & y \end{array})

有特征向量

α_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

,
（1）计算

A α_{1}

，指出

α_{1}

对应的特征值，并确定

x, y

的值;
（2）求

A

的所有特征值;

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15. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x

, 其中

A = (\begin{array}{ccc} 5 & - 4 & 2 \\ - 4 & 5 & - 2 \\ 2 & - 2 & 2 \end{array}), x = (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})

, 请:
(1) 求方阵

A

的特征值与特征向量；
(2) 求一个正交变换

x = P y

把二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

化成标准形, 并写出标准形.

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16. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是三维向量空间

R^{3}

的一组基,

β_{1} = α_{1} + t α_{2}, β_{2} = α_{2} + α_{3}, β_{3} = α_{1} + s α_{3}

, 其中

t, s

为参数, 证明: 当

t + s \neq 0

时,

β_{1}, β_{2}, β_{3}

也是三维向量空间

R^{3}

的一组基.

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