单选题 （共 17 题 ），每题只有一个选项正确
设总体 $X \sim B(m, \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$
$\text{A.}$ $(m-1) n \theta(1-\theta)$ ．
$\text{B.}$ $m(n-1) \theta(1-\theta)$ ．
$\text{C.}$ $(m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$ ．
$\text{D.}$ $m n \theta(1-\theta)$ ．
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量 $T_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, T_2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} X_i+\frac{1}{n} X_n$ ，有
$\text{A.}$ $E\left(T_1\right)>E\left(T_2\right), D\left(T_1\right)>D\left(T_2\right)$ ．
$\text{B.}$ $E\left(T_1\right)>E\left(T_2\right), D\left(T_1\right) < D\left(T_2\right)$ ．
$\text{C.}$ $E\left(T_1\right) < E\left(T_2\right), D\left(T_1\right)>D\left(T_2\right)$ ．
$\text{D.}$ $E\left(T_1\right) < E\left(T_2\right), D\left(T_1\right) < D\left(T_2\right)$ ．
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，从总体中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^2$ 。记 $S_k^2=\frac{n}{k} \bar{X}^2+\frac{1}{k} S^2(k=1,2,3,4)$ ，则
$\text{A.}$ $E S_1^2=\sigma^2$ ．
$\text{B.}$ $E S_2^2=\sigma^2$ ．
$\text{C.}$ $E S_3^2=\sigma^2$ ．
$\text{D.}$ $E S_4^2=\sigma^2$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，则数学期望 $E\left\{\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)\left[\sum_{j=1}^n\left(n X_j-\sum_{k=1}^n X_k\right)^2\right]\right\}$ 等于
$\text{A.}$ $n^3(n-1) \mu \cdot \sigma^2$ ．
$\text{B.}$ $n(n-1) \mu \cdot \sigma^2$ ．
$\text{C.}$ $n^2(n-1) \mu \cdot \sigma^2$ ．
$\text{D.}$ $n^3(n-1) \mu \cdot \sigma$ ．
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则
$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布．
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布．
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布．
$\text{D.}$ $X^2 / Y^2$ 服从 $F$ 分布．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则下列结论不正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布．
$\text{B.}$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布．
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布．
$\text{D.}$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布．
设 $X_1, X_2, X_3$ 为来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $S=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\left|X_3\right|}$服从的分布为
$\text{A.}$ $F(1,1)$ ．
$\text{B.}$ $F(2,1)$ ．
$\text{C.}$ $t(1)$ ．
$\text{D.}$ $t(2)$ ．
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\frac{X_1-X_2}{\left|X_3+X_4-2\right|}$ 的分布为
$\text{A.}$ $N(0,1)$ ．
$\text{B.}$ $t(1)$ ．
$\text{C.}$ $\chi^2(1)$ ．
$\text{D.}$ $F(1,1)$ ．
假设 $X, X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，$Y^2= \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2$ ，则
$\text{A.}$ $X^2 \sim \chi^2(1)$ ．
$\text{B.}$ $Y^2 \sim \chi^2(10)$ ．
$\text{C.}$ $\frac{X}{Y} \sim t(10)$ ．
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2} \sim F(10,1)$ ．
$X_1, \cdots, X_n$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则可以作出服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布的随机变量为
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{n \bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$ ．
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right), X_1, \cdots, X_{10}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，统计量 $Y=\frac{4\left(X_1^2+\cdots+X_i^2\right)}{X_{i+1}^2+\cdots+X_{10}^2}(1 < i < 10)$ 服从 $F$ 分布，则 $i$ 等于
$\text{A.}$ 5 ．
$\text{B.}$ 4 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 2 ．
设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right)$ ，已知 $X_1, \cdots, X_m$ 与 $Y_1, \cdots, Y_n$ 是分别来自总体 $X$ 与 $Y$ 两个相互独立的简单随机样本，统计量 $Y=\frac{2\left(X_1+\cdots+X_m\right)}{\sqrt{Y_1^2+\cdots+Y_n^2}}$服从 $t(n)$ 分布，则 $\frac{m}{n}$ 等于
$\text{A.}$ 1．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$ ．
假设随机变量 $X \sim N\left(1,2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，已知 $Y=a \bar{X}+b \sim N(0,1)$ ，则
$\text{A.}$ $a=-5, b=5$ ．
$\text{B.}$ $a=5, b=5$ ．
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{5}, b=-\frac{1}{5}$ ．
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{5}, b=\frac{1}{5}$ ．
设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right), X_1, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, \cdots, Y_n$ 分别来自总体 $X$ 与 $Y$ 容量都为 $n$ 的两个相互独立简单随机样本，样本均值和方差分别为 $\bar{X}$ ， $S_X^2, \bar{Y}, S_Y^2$ 。则
$\text{A.}$ $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ ．
$\text{B.}$ $S_X^2+S_Y^2 \sim \chi^2(2 n-2)$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}} \sim t(2 n-2)$ ．
$\text{D.}$ $\frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim F(n-1, n-1)$ ．
设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ ，给定 $\alpha(0 < \alpha < 0.5)$ ，常数 $c$ 满足 $P\{X> c\}=\alpha$ ，则 $P\left\{Y>c^2\right\}=$
$\text{A.}$ $\alpha$ ．
$\text{B.}$ $1-\alpha$ ．
$\text{C.}$ $2 \alpha$ ．
$\text{D.}$ $1-2 \alpha$ ．
设随机变量 $X \sim t(n)(n>1), Y=\frac{1}{X^2}$ ，则
$\text{A.}$ $Y \sim \chi^2(n)$ ．
$\text{B.}$ $Y \sim \chi^2(n-1)$ ．
$\text{C.}$ $Y \sim F(n, 1)$ ．
$\text{D.}$ $Y \sim F(1, n)$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_1 / \sqrt{n-1}}$ ．
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_2 / \sqrt{n-1}}$ ．
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_3 / \sqrt{n}}$ ．
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_4 / \sqrt{n}}$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $X_1, X_2, \cdots, X_m$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，记统计量 $T=\bar{X}-S^2$ ，则 $E(T)=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体均为正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 的方差 $D T$ 是
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0,2^2\right)$ ，而 $X_1, X_2, \cdots X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则随机变量 $Y=\frac{X_1^2+\cdots+X_{10}^2}{2\left(X_{11}^2+\cdots+X_{15}^2\right)}$ 服从 $\_\_\_\_$分布，参数为 $\_\_\_\_$ ．
随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(0,3^2\right)$ ，而 $X_1, \cdots, X_9$ 和 $Y_1$ ， $\cdots, Y_9$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，则统计量 $U=\frac{X_1+\cdots+X_9}{\sqrt{Y_1^2+\cdots+Y_9^2}}$ 服从分布 $\_\_\_\_$ ，参数为 $\_\_\_\_$。
设 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，已知统计量 $T= a \frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{X_4^2+X_5^2+X_6^2}}$ 服从 $t$ 分布，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在天平上重复称量一重为 $a$ 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 $N\left(a, 0.2^2\right)$ 。若以 $\bar{X}_n$ 表示 $n$ 次称量结果的算术平均值，则为使 $P\left\{\left|\bar{X}_n-a\right| < 0.1\right\} \geqslant 0.95, n$ 的最小值应不小于自然数 为？
从正态总体 $N\left(3,4,6^2\right)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本，如果要求其样本均值位于区间 $(1.4,5.4)$ 内的概率不小于 0.95 ，问样本容量 $n$ 至少应取多大？
附表：标准正态分布表 $\Phi(z)=\int_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{i^z}{2}} \mathrm{~d} t$
设总体 $X$ 服从 $N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是取自总体的简单随机样本， $\bar{X}, S^2$ 分别为样本均值和样本方差，$T=5 \bar{X}^2+\frac{1}{6} S^2$ ，求 $E(T), D(T)$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，$Y_1=\frac{1}{6}\left(X_1+X_2+\cdots+\right. \left.X_6\right), Y_2=\frac{1}{3}\left(X_7+X_8+X_9\right), S^2=\frac{1}{2} \sum_{i=7}^9\left(X_i-Y_2\right)^2, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_1-Y_2\right)}{S}$ ，证明统计量 $Z$ 服从自由度为 2 的 $t$ 分布．
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，从该总体中抽取简单随机样本 $X_1$ ， $X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geqslant 2)$ ，其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$ ，求统计量 $Y=\sum_{i=1}^n \left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2$ 的数学期望 $E(Y)$.