单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\frac{1}{x^2} \arctan \frac{1}{x-\frac{1}{x}}$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点；$x=1$ 和 $x=-1$ 是第二类间断点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点；$x=1$ 和 $x=-1$ 是第一类间断点．
$\text{C.}$ $x=0, x=1$ 及 $x=-1$ 全都是 $f(x)$ 的第一类间断点．
$\text{D.}$ $x=0, x=1$ 及 $x=-1$ 全都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-\mathrm{e}^h\right)$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在
设反常积分
$$
I_1=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}, I_2=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(1+\sqrt{x})(1+x)}, I_3=\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)} .
$$
则有
$\text{A.}$ $I_1, I_2$ 收敛，$I_3$ 发散。
$\text{B.}$ $I_1, I_3$ 收敛，$I_2$ 发散．
$\text{C.}$ $I_2, I_3$ 收敛，$I_1$ 发散．
$\text{D.}$ $I_1, I_2, I_3$ 均收敛。
设 $f(x, y)=\sqrt{x^2+y^2}(|x|+|y|)$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{C.}$ 可微。
$\text{D.}$ 不可微．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $\boldsymbol{A}^m=\boldsymbol{E}$ ，其中 $m$ 为正整数． $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n}\end{array}\right)$ ，
其中 $A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $\boldsymbol{B}^m=$
$\text{A.}$ $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{O}$
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^* \neq \boldsymbol{O}$ ，若 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\xi}_3, \boldsymbol{\xi}_4$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ 的基础解系
$\text{A.}$ 仅含一个非零解向量．
$\text{B.}$ 含有三个线性无关的解向量．
$\text{C.}$ 含有两个线性无关的解向量。
$\text{D.}$ 不存在．
下列二次型中，正定二次型是
$\text{A.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3-x_4\right)^2+\left(x_4-x_1\right)^2$
$\text{B.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_3+x_4\right)^2+\left(x_4+x_1\right)^2$
$\text{C.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_3-x_4\right)^2+\left(x_4+x_1\right)^2$
$\text{D.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_3+x_4\right)^2+\left(x_4+x_1\right)^2$
设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $C \subset A, D \subset B$ ，则
$\text{A.}$ $C$ 与 $D$ 相互独立
$\text{B.}$ $C$ 与 $D$ 不独立
$\text{C.}$ $C$ 与 $D$ 互不相容
$\text{D.}$ $C$ 与 $D$ 可能独立，也可能不独立
下列四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数
$\text{A.}$ $F_1(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)\left(1-\mathrm{e}^{-y}\right), \\ 0, \quad 0 < x < +\infty, 0 < y < +\infty \\ 0, \quad \text { 其他；}\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F_2(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\sin x \sin y, \quad 0 \leqslant x \leqslant \pi / 2,0 \leqslant y \leqslant \pi / 2 \\ 0, \quad \text { 其他；}\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F_3(x, y)= \begin{cases}1, & x+2 y \geqslant 1 \\ 0, & x+2 y < 1\end{cases}$
$\text{D.}$ $F_4(x, y)=1+2^{-x}-2^{-y}+2^{-x-y}$
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，且满足 $\boldsymbol{P}\{X < \sigma\} < \boldsymbol{P}\{X>\sigma\}$ ，则 $\mu / \sigma$ 满足
$\text{A.}$ $\mu / \sigma>1$
$\text{B.}$ $0 < \mu / \sigma < 1$
$\text{C.}$ $\mu / \sigma=1$
$\text{D.}$ $\mu / \sigma < 0$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y^2=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\left(1+x^5\right)^2}$ 围成的无界平面图形 $D$ 的面积 $S$ 为
求定积分 $\int_{-1}^0(x+1) \sqrt{1-x-x^2} \mathrm{~d} x$
差分方程 $2 y_{x+2}-2 \Delta^2 y_x-2 y_{x+1}+3 y_x=0$ 的通解为
设 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq t^2$ 上连续且 $f(0,0)=4$ ，则 $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{t-\ln (1+t)}=$
设 $\xi_1=(1,3,-2)^{\mathrm{T}}, \xi_2=(2,-1,3)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\boldsymbol{A} x=0$ 的一个基础解系， $\boldsymbol{\eta}=(2, a, b)^{\mathrm{T}}$ 是方程 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} \\ x_1+2 x_2+x_3=-2\end{array}\right.$ 的解，则 $\boldsymbol{\eta}=$
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|}(-\infty < x < +\infty), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的简单随机样本，其样本方差为 $S^2$ ，则 $E\left(S^2\right)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设
$$
f(x)= \begin{cases}\sin x+2 a \mathrm{e}^x, & x < 0, \\ 9 \arctan x+2 b(x-1)^3, & x \geqslant 0 .\end{cases}
$$
确定 $a, b$ 的值，使 $f^{\prime}(0)$ 存在．
求三元函数 $u=x y z$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=1$ 与 $x+y+z=0$ 下的最大值与最小值．
设区域 $D=\left\{(x, y)\left|y \pm x \leqslant \frac{\pi}{2}, y \geqslant|x|\right\}\right.$ ．计算 $\iint_D \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n(3 n+1)}$ 的和．
设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & a \\ 1 & a & a\end{array}\right)$ 的秩为 2 ．
（I）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值之和为最小时的 $a$ 值；
（II）对（I）求得的 $a$ 值，计算使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^*\right) \boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}$ 的三阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 。
设总体 X 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
(\theta+1) x^\theta, & 0 < x < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
试用样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 求参数 $\theta$ 的矩估计和最大似然估计．