【30350】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列不等式： （1）$\frac{a^{\frac{1}{n+1}}}{(n+1)^2}<\frac{a^{\frac{1}{n}}-a^{\frac{1}{n+1}}}{\ln a}<\frac{a^{\frac{1}{n}}}{n^2}(a>1)$ ． （2）$a^y-a^x>(\cos x-\cos y) a^x \ln a\left(0<x<y<\frac{\pi}{2}, a> e \right)$ ． （3）$(m+n)\left(1+x^m\right) \geqslant 2 n\left(1-x^{m+n}\right) /\left(1-x^n\right) \quad(x>0, m \geqslant n \geqslant 1)$ ．

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【30349】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列命题： （1）$\frac{\ln 2+1}{4}=\frac{1}{2(1+\xi)^2},-1<\xi<1$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二次可导。若 $f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)| $$

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【30348】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导．若 $f(a)=f(b)=1$ ，则存在 $\xi, \eta \in$ $(a, b)$ ，使得 $e ^{\eta-\hat{\varepsilon}}\left[f(\eta)+f^{\prime}(\eta)\right]=1$ 。 （2）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导 ．若 $f(a)=0, f(x)>0(x \in(a, b))$ ，则对任意的自然数 $n, m$ ，存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{m f^{\prime}(\eta)}{f(\eta)}$ ． （3）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导．若 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则存在 $\xi, \eta \in$ $(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=1(\xi \neq \eta)$ 。

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【30347】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C([a, b])$ 且在 $(a, b)$ 上可微。若 $f(x)>0(a \leqslant x \leqslant b)$ ，则存在 $\xi \in$ $(a, b)$ ，使得 $f(b) / f(a)= e ^{(b-a) f^{\prime}(\xi) / f(\xi)}$ 。 （2）设 $f \in C([a, b])$ 且在 $(a, b)$ 上可微。若 $f(x) \neq 0(a<x<b)$ ，则存在 $\xi \in$ $(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) / f(\xi)=1 /(a-\xi)+1 /(b-\xi)$ 。

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【30346】 【 微分中值定理】 解答题 解答下列问题： （1）设 $f(x)= e ^x$ ，求在公式 $f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta x$ 中的 $\theta$ 。 （2）设 $f(x)=1 / x, 0<x_0<x_0+\Delta x$ ，则公式 $$ f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0+\theta \Delta x\right) \Delta x $$ 中之 $\theta$ 满足： $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \theta=1 / 2$ 。

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【30345】 【 导数与微分】 解答题 设 $y=x^n e ^x$ ，求 $d ^n y$ ．

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【30344】 【 导数与微分】 解答题 设 $y=f(x)=\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^m$ ，试证明 （1）$\left(1+x^2\right) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=m^2 y$ ． （2）$\left(1+x^2\right) y^{(n+2)}+(2 n+1) x y^{(n+1)}+\left(n^2-m^2\right) y^{(n)}=0$ ，并由此求出 $f^{(n)}(0)$ 。

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【30343】 【 导数与微分】 解答题 求下列 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数： （1）$f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}(c \neq 0)$ ． （2）$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-2 x}}$ ．

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【30342】 【 导数与微分】 解答题 设 $y=f[g(x)]$ ，求 $y^{\prime \prime \prime}$ 。

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【30341】 【 导数与微分】 解答题 试解答下列问题： （1）试问对什么 $x$ 值，函数 $y=f(x)=\cos x$ 在 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，其微分 $d y$ 与差分 $\Delta y=\Delta f(x)$ 不等价？ （2）设 $y=x^3-3 x$ ，试问当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$\Delta y- d y$ 是 $\Delta x$ 的几阶无穷小？

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