【30340】 【 导数与微分】 解答题 设 $y=y(x)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=3 x^2 y-y^3$ 确定的隐函数（严格的说，$y(x)$ 并不是一般意义上的单值函数），求在 $x=0, y=0$ 处的 $\frac{ d y}{d x}$ ．

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【30339】 【 导数与微分】 解答题 求由下列函数方程确定的隐函数 $y(x)$ 的导数 $y^{\prime}(x)$ ： （1）$y^2+2 \ln y=x^4$ ． （2）$x^y=y^x(x>0, y>0)$ 。 （3）$x^2-4 x y+4 y^2+4 x-3 y-7=0(x<2 y-1)$ ．

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【30338】 【 导数与微分】 解答题 解答下列问题： （1）设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+2 t, \\ y=\ln (1+t)\end{array}\right.$ 确定，试求其在 $x=3$ 处的法线方程． （2）设函数 $y=f(x)$ 的动点坐标 $(x, y)$ 在极坐标 $(r, \theta)$ 中表示为 $$ r=a(1+\cos \theta), \quad \theta \in(0,2 \pi / 3), $$ 试求 $f^{\prime}(x)$ ．

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【30337】 【 导数与微分】 解答题 解答下列问题： （1）求曲线 $y=3 x^3+14 x^2+3 x+8$ 上的点，使其上之切线通过原点． （2）求曲线 $y=x^3-3 x^2+2$ 上的点，使其上之切线平行于直线 $y=9 x+4$ ． （3）求曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=1 / x$ 之公切线。

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【30336】 【 导数与微分】 解答题 $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{n^2}\right)\left(1+\frac{2 a}{n^2}\right) \cdots\left(1+\frac{n a}{n^2}\right) \quad(a>0) .$

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【30335】 【 导数与微分】 解答题 $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a+\frac{1}{n}\right)^n\left(a+\frac{2}{n}\right)^n \cdots\left(a+\frac{k}{n}\right)^n / a^{n k}(k \in N ) .$

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【30334】 【 导数与微分】 解答题 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x) e^x-f(0)}{f(x) \cos x-f(0)}\left(f^{\prime}(0) \neq 0\right)$

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【30333】 【 导数与微分】 解答题 $ I=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin x-\sin a}{\sin (x-a)} \text {. }$

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【30332】 【 导数与微分】 解答题 解答下列问题： （1）设 $f(x)=|\ln | x| |$ ，试求 $f^{\prime}(x)(x \neq 0)$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $U\left(x_0\right)$ 上定义，且 $f\left(x_0\right)=0$ ，试证明 $F(x)=|f(x)|$ 在 $x=x_0$处可导的充分必要条件是 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 。 （3）设 $f^{\prime}\left(x_0\right), g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，且 $g\left(x_0\right)=0, g^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ ，试证明 $F(x)=f(x) \cdot$ $|g(x)|$ 在 $x=x_0$ 处可导的充分必要条件是 $f\left(x_0\right)=0$ 。

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【30331】 【 导数与微分】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[a, \infty)$ 上可导，且 $f(a)=0$ ．若有 $f^{\prime}(x) \geqslant-f(x), x \in$ $[a, \infty)$ ，试证明 $f(x) \geqslant 0(a \leqslant x<\infty)$ 。

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