【30360】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 单选题 设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是 [img=/uploads/2025-08/362e4f.jpg][/img] 则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时，

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【30359】 【 微分中值定理】 解答题 设 $f(x)=a \cos ^2 x+2 b \cos x \cdot \sin x+c \sin ^2 x$ 。 （1）试问在什么条件下，$f(x)$ 是一个常数？ （2）在不是（1）的情形，试求 $f(x)$ 的极值。

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【30358】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导。若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调，则 $f^{\prime} \in C((a, b))$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二次可导。若 $f^{\prime \prime}(x) \neq 0(a \leqslant x \leqslant b)$ ，则对任意的 $\xi \in(a$ ， $b)$ ，存在 $\xi^{\prime}: a<\xi<\xi^{\prime} \leqslant b$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f\left(\xi^{\prime}\right)-f(a)}{\xi^{\prime}-a}$ 。 （3）（i）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且有 $$ x_i \in(a, b), \quad \lambda_i>0 \quad(i=1,2, \cdots, n) ; \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i=1, $$ 则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\sum_{i=1}^n \lambda_i f^{\prime}\left(x_i\right)=f^{\prime}(\xi)$ ． （ii）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且有 $x_i<y_i, x_i, y_i \in(a, b)(i=1,2, \cdots, n)$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \sum_{i=1}^n\left[f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right]=f^{\prime}(\xi) \sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i\right) . $$

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【30357】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列不等式： （1） $0 \leqslant e ^{-t}-(1-t / n)^n \leqslant t^2 e ^{-t} / n \quad(n \in N , t \in[0, n])$ 。 （2） $e ^{-t}-(1-t / n)^n \leqslant t e ^{-t / 2} \sqrt{n} \quad(n \geqslant 36, t \in[0, n])$ 。

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【30356】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列不等式： （1） $\cos ^p \theta \leqslant \cos (p \theta)(0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 2 ; 0<p<1)$ 。 （2） $\cos x+\cos y \leqslant 1+\cos (x y)\left(x^2+y^2 \leqslant \pi\right)$ ． （3） $1 / \sin ^2 x \leqslant 1 / x^2+1-4 / \pi^2(0<x \leqslant \pi / 2)$ ． （4）$f(s+t)<f(s)+f(t)(s, t>0, s+t<1)$ ，其中 $$ f(x)=x-x^3 / 6+\left(x^4 / 24\right) \sin (1 / x)(x>0) . $$

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【30355】 【 微分中值定理】 解答题 解答下列问题： （1）设 $a=\sqrt{2}, a_{n+1}=2^{a_n / 2}(n \in N )$ ，试论 $\left\{a_n\right\}$ 的收敛性。 （2）设 $a_1>0, a_{n+1}=2^{1-a_n}(n \in N )$ ，试论 $\left\{a_n\right\}$ 的收敛性。 （3）已知 $5^2+5+2=2^5$ ，问是否存在其他正整数 $n, m$ ，使得 $n^m+n+m=m^n$ ？ （4）求一切满足 $0<a<b$ 且 $a^b=b^a$ 的整数 $a, b$ 之值。

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【30354】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\left(a_n \neq 0\right)$ ，则存在 $X>0$ ，使得 $P(x)$ 在 $(-\infty,-X),(X,+\infty)$ 上严格单调。 （2）设 $R(x)=\left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right) /\left(b_m x^m+\cdots+b_0\right), a_n b_m \neq 0$ ，且不是常数，则存在 $X>0$ ，使得 $R(x)$ 在 $(-\infty,-X),(X,+\infty)$ 上严格单调。

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【30353】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列命题： （1） $2 \arctan x+\arcsin \frac{2 x}{1+x^2}=\pi(1<x<\infty)$ ． （2）设 $f(x)$ 可导．若曲线 $y=f(x)$ 上任一点 $P(x, y)$ 处的切线与向径 $O P$ 垂直，则此曲线为一个（半）圆周。

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【30352】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $g \in C^{(2)}((-\infty, \infty)), g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ 。令 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} g(x)-e^{-x}, & x \neq 0 \\ x & x=0 \end{array}\right. $$ 则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上连续。 （2） $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+a^x+\cdots+a_n^x}{n}\right)^{1 / x}=\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}\left(a, \cdots, a_n>0\right)$ ． （3）设 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上递增。若 $f(x) / x^p \rightarrow 1(x \rightarrow$ $+\infty)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{p x^{p-1}}=1$ ．

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【30351】 【 微分中值定理】 解答题 试求下列极限： （1） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}$ ． （2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{-1 / x^2}}{x^{100}}$ ．

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