解答下列问题：
（1）设 $f(x)=|\ln | x| |$ ，试求 $f^{\prime}(x)(x \neq 0)$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $U\left(x_0\right)$ 上定义，且 $f\left(x_0\right)=0$ ，试证明 $F(x)=|f(x)|$ 在 $x=x_0$处可导的充分必要条件是 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 。
（3）设 $f^{\prime}\left(x_0\right), g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，且 $g\left(x_0\right)=0, g^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ ，试证明 $F(x)=f(x) \cdot$ $|g(x)|$ 在 $x=x_0$ 处可导的充分必要条件是 $f\left(x_0\right)=0$ 。