【31966】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)$ ，左、右顶点分别为 $A_1, A_2$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $x$ 轴的直线与 $E$ 相交于 $A, B$两点，且 $|A B|=1$ ． （1）求 $E$ 的方程； （2）若直线 $l: y=k x+m$ 与圆 $x^2+y^2=a^2$ 相切，且与双曲线左、右两支分别交于 $P_1, P_2$ 两点，记直线 $P_1 A_1$ 的斜率为 $k_1, P_2 A_2$ 的斜率为 $k_2$ ，那么 $k_1 \cdot k_2$ 是否为定值？并说明理由．

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【31965】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为＂姊妹＂圆锥曲线．已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1(0<b<2)$ ，双曲线 $C_2$ 是椭圆 $C_1$ 的＂姊妹＂圆锥曲线，$e_1, e_2$ 分别为 $C_1, C_2$ 的离心率，且 $e_1 e_2=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，点 $M, N$ 分别为椭圆 $C_1$ 的左、右顶点． （1）求双曲线 $C_2$ 的方程； （2）设过点 $G(4,0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C_2$ 右支于 $A, B$ 两点，若直线 $A M, B N$ 的斜率分别为 $k_{A M}, k_{B N}$ ． （i）试探究 $k_{A M}$ 与 $k_{B N}$ 的比值 $\frac{k_{A M}}{k_{B N}}$ 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求 $w=k_{A M}^2+\frac{2}{3} k_{B N}$ 的取值范围．

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【31964】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到右焦点 $F$ 距离的最大值为 3 ，最小值为 1 ． （1）求椭圆 $C$ 的标准方程： （2）设 $M N$ 和 $P Q$ 是通过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 的两条弦，且 $P Q \perp M N$ ．问是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $|P Q|+|M N|=\lambda|P Q| \cdot|M N|$ 恒成立？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．

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【31963】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知拋物线 $C: y^2=4 x$ ，经过 $P(t, 0)(t>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点． （1）若 $t=4$ ，求 $A P$ 长度的最小值； （2）设以 $A B$ 为直径的圆交 $x$ 轴于 $M, N$ 两点，问是否存在 $t$ ，使得 $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}=-4$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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【31962】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x, F$ 到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ． （1）求 $C$ 的方程； （2）若直线 $I$ 过 $F$ ，且与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（异于 $C$ 的两个顶点），直线 $x=t$ 与直线 $A P, A Q$ 的交点分别为 $M$ ， $N$ ．是否存在实数 $t$ ，使得 $|\overrightarrow{F M}+\overrightarrow{F N}|=|\overrightarrow{F M}-\overrightarrow{F N}|$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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【31961】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别 $F_1 、 F_2$ 焦距为 2 ，且与双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 共顶点．$P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $P F_1$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $Q$ ． （1）求椭圆 $C$ 的方程； （2）若点 $P$ 的坐标为 $(0, b)$ ，求过 $P 、 Q 、 F_2$ 三点的圆的方程； （3）若 $\overrightarrow{F_1 P}=\lambda \overrightarrow{Q F_1}$ ，且 $\lambda \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 的最大值．

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【31960】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 设椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 经过点 $M\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ． （1）求椭圆 $E$ 的标准方程； （2）设椭圆 $E$ 的右顶点为 $A$ ，过定点 $N(1,0)$ 且斜率不为 0 的直线与椭圆 $E$ 交于 $B, C$ 两点，设直线 $A B, A C$ 与直线 $x=4$ 的交点分别为 $P, Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 面积的最小值．

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【31959】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 4 ； （1）求 $C$ 的方程； （2）过点 $P(-3,0)$ 作两条相互垂直的直线上 $l_1$ 和 $l_2$ ，直线 $l_1$ 与 $C$ 相交于两个不同点 $A, B$ ，在线段 $A B$ 上取点 $Q$ ，满足 $\frac{|A Q|}{|Q B|}=\frac{|A P|}{|P B|}$ ，直线 $l_2$ 交 $y$ 轴于点 $R$ ，求 $\triangle P Q R$ 面积的最小值．

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【31958】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ ，抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在拋物线上，且 $|P F|$ 的最小值为 1 ． （1）求 $p$ ； （2）设 $O$ 为坐标原点，$A, B$ 为拋物线 $C$ 上不同的两点，直线 $O A, O B$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ，且满足 $k_1 k_2<\overrightarrow{O A}$ ． $\overrightarrow{O B}=-3$ ，求 $|A B|$ 的取值范围．

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【31957】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 解答题 已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $P\left(-\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ． （1）求椭圆 $E$ 的标准方程： （2）过椭圆 $E$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方），过点 $A, B$ 分别作椭圆的切线，两切线交于点 $M$ ，求 $\frac{|A B|}{\left|M F_1\right|}$ 的最大值．

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