我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为＂姊妹＂圆锥曲线．已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1(0 < b < 2)$ ，双曲线 $C_2$ 是椭圆 $C_1$ 的＂姊妹＂圆锥曲线，$e_1, e_2$ 分别为 $C_1, C_2$ 的离心率，且 $e_1 e_2=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，点 $M, N$ 分别为椭圆 $C_1$ 的左、右顶点．
（1）求双曲线 $C_2$ 的方程；
（2）设过点 $G(4,0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C_2$ 右支于 $A, B$ 两点，若直线 $A M, B N$ 的斜率分别为 $k_{A M}, k_{B N}$ ．
（i）试探究 $k_{A M}$ 与 $k_{B N}$ 的比值 $\frac{k_{A M}}{k_{B N}}$ 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 $w=k_{A M}^2+\frac{2}{3} k_{B N}$ 的取值范围．