多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M(-2,0), N(2,0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P M| \cdot|P N|=5$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$
$\text{B.}$ $|O P|$ 的取值范围是 $[1,3]$
$\text{C.}$ $\triangle P M N$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ $|P M|+|P N|$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{5}, 5]$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $P, Q$ 分别是抛物线 $x^2=y$ 与圆 $(x-3)^2+y^2=1$ 上的点，则 $|P Q|$ 的最小值为
已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A(4,1), P(x, y)$ 为拋物线上一动点，则 $\triangle P A F$ 周长的最小值为
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $P\left(-\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程：
（2）过椭圆 $E$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方），过点 $A, B$ 分别作椭圆的切线，两切线交于点 $M$ ，求 $\frac{|A B|}{\left|M F_1\right|}$ 的最大值．
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ ，抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在拋物线上，且 $|P F|$ 的最小值为 1 ．
（1）求 $p$ ；
（2）设 $O$ 为坐标原点，$A, B$ 为拋物线 $C$ 上不同的两点，直线 $O A, O B$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ，且满足 $k_1 k_2 < \overrightarrow{O A}$ ． $\overrightarrow{O B}=-3$ ，求 $|A B|$ 的取值范围．
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 4 ；
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(-3,0)$ 作两条相互垂直的直线上 $l_1$ 和 $l_2$ ，直线 $l_1$ 与 $C$ 相交于两个不同点 $A, B$ ，在线段 $A B$ 上取点 $Q$ ，满足 $\frac{|A Q|}{|Q B|}=\frac{|A P|}{|P B|}$ ，直线 $l_2$ 交 $y$ 轴于点 $R$ ，求 $\triangle P Q R$ 面积的最小值．
设椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 经过点 $M\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）设椭圆 $E$ 的右顶点为 $A$ ，过定点 $N(1,0)$ 且斜率不为 0 的直线与椭圆 $E$ 交于 $B, C$ 两点，设直线 $A B, A C$ 与直线 $x=4$ 的交点分别为 $P, Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 面积的最小值．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别 $F_1 、 F_2$ 焦距为 2 ，且与双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 共顶点．$P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $P F_1$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $Q$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 的坐标为 $(0, b)$ ，求过 $P 、 Q 、 F_2$ 三点的圆的方程；
（3）若 $\overrightarrow{F_1 P}=\lambda \overrightarrow{Q F_1}$ ，且 $\lambda \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 的最大值．
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x, F$ 到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若直线 $I$ 过 $F$ ，且与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（异于 $C$ 的两个顶点），直线 $x=t$ 与直线 $A P, A Q$ 的交点分别为 $M$ ，
$N$ ．是否存在实数 $t$ ，使得 $|\overrightarrow{F M}+\overrightarrow{F N}|=|\overrightarrow{F M}-\overrightarrow{F N}|$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知拋物线 $C: y^2=4 x$ ，经过 $P(t, 0)(t>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．
（1）若 $t=4$ ，求 $A P$ 长度的最小值；
（2）设以 $A B$ 为直径的圆交 $x$ 轴于 $M, N$ 两点，问是否存在 $t$ ，使得 $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}=-4$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到右焦点 $F$ 距离的最大值为 3 ，最小值为 1 ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程：
（2）设 $M N$ 和 $P Q$ 是通过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 的两条弦，且 $P Q \perp M N$ ．问是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $|P Q|+|M N|=\lambda|P Q| \cdot|M N|$ 恒成立？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．
我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为＂姊妹＂圆锥曲线．已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1(0 < b < 2)$ ，双曲线 $C_2$ 是椭圆 $C_1$ 的＂姊妹＂圆锥曲线，$e_1, e_2$ 分别为 $C_1, C_2$ 的离心率，且 $e_1 e_2=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，点 $M, N$ 分别为椭圆 $C_1$ 的左、右顶点．
（1）求双曲线 $C_2$ 的方程；
（2）设过点 $G(4,0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C_2$ 右支于 $A, B$ 两点，若直线 $A M, B N$ 的斜率分别为 $k_{A M}, k_{B N}$ ．
（i）试探究 $k_{A M}$ 与 $k_{B N}$ 的比值 $\frac{k_{A M}}{k_{B N}}$ 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 $w=k_{A M}^2+\frac{2}{3} k_{B N}$ 的取值范围．
已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)$ ，左、右顶点分别为 $A_1, A_2$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $x$ 轴的直线与 $E$ 相交于 $A, B$两点，且 $|A B|=1$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）若直线 $l: y=k x+m$ 与圆 $x^2+y^2=a^2$ 相切，且与双曲线左、右两支分别交于 $P_1, P_2$ 两点，记直线 $P_1 A_1$ 的斜率为 $k_1, P_2 A_2$ 的斜率为 $k_2$ ，那么 $k_1 \cdot k_2$ 是否为定值？并说明理由．
已知抛物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I$ ．设过点 $F$ 且不与 $x$ 轴平行的直线 $m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，过 $M$ 作直线垂直于 $I$ ，垂足为 $N$ ，直线 $M N$ 与抛物线 $C$ 交于点 $P$ ．
（1）求证：点 $P$ 是线段 $M N$ 的中点．
（2）若抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，问是否存在直线 $m$ ，使得四边形 $M P Q F$ 是有一个内角为 $60^{\circ}$ 的菱形？若存在，请求出直线 $m$ 的方程；若不存在，请说明理由．