已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x, F$ 到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若直线 $I$ 过 $F$ ，且与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（异于 $C$ 的两个顶点），直线 $x=t$ 与直线 $A P, A Q$ 的交点分别为 $M$ ，
$N$ ．是否存在实数 $t$ ，使得 $|\overrightarrow{F M}+\overrightarrow{F N}|=|\overrightarrow{F M}-\overrightarrow{F N}|$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．