已知抛物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I$ ．设过点 $F$ 且不与 $x$ 轴平行的直线 $m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，过 $M$ 作直线垂直于 $I$ ，垂足为 $N$ ，直线 $M N$ 与抛物线 $C$ 交于点 $P$ ．
（1）求证：点 $P$ 是线段 $M N$ 的中点．
（2）若抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，问是否存在直线 $m$ ，使得四边形 $M P Q F$ 是有一个内角为 $60^{\circ}$ 的菱形？若存在，请求出直线 $m$ 的方程；若不存在，请说明理由．