在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别 $F_1 、 F_2$ 焦距为 2 ，且与双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 共顶点．$P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $P F_1$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $Q$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 的坐标为 $(0, b)$ ，求过 $P 、 Q 、 F_2$ 三点的圆的方程；
（3）若 $\overrightarrow{F_1 P}=\lambda \overrightarrow{Q F_1}$ ，且 $\lambda \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 的最大值．