已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 4 ；
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(-3,0)$ 作两条相互垂直的直线上 $l_1$ 和 $l_2$ ，直线 $l_1$ 与 $C$ 相交于两个不同点 $A, B$ ，在线段 $A B$ 上取点 $Q$ ，满足 $\frac{|A Q|}{|Q B|}=\frac{|A P|}{|P B|}$ ，直线 $l_2$ 交 $y$ 轴于点 $R$ ，求 $\triangle P Q R$ 面积的最小值．