已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)$ ，左、右顶点分别为 $A_1, A_2$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $x$ 轴的直线与 $E$ 相交于 $A, B$两点，且 $|A B|=1$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）若直线 $l: y=k x+m$ 与圆 $x^2+y^2=a^2$ 相切，且与双曲线左、右两支分别交于 $P_1, P_2$ 两点，记直线 $P_1 A_1$ 的斜率为 $k_1, P_2 A_2$ 的斜率为 $k_2$ ，那么 $k_1 \cdot k_2$ 是否为定值？并说明理由．