已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $P\left(-\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程：
（2）过椭圆 $E$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方），过点 $A, B$ 分别作椭圆的切线，两切线交于点 $M$ ，求 $\frac{|A B|}{\left|M F_1\right|}$ 的最大值．