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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知拋物线 $C: y^2=4 x$ ，经过 $P(t, 0)(t>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．
（1）若 $t=4$ ，求 $A P$ 长度的最小值；
（2）设以 $A B$ 为直径的圆交 $x$ 轴于 $M, N$ 两点，问是否存在 $t$ ，使得 $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}=-4$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．
                        
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