【31986】 【 汤家凤《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布】 解答题 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}$ ，求随机变量 $Y=2 X+1$ 的概率密度．

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【31985】 【 汤家凤《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布】 解答题 设连续型随机变量 $X$ 的分布函数和概率密度函数分别为 $F(x), f(x)$ ，又 $Y= \frac{X-1}{2}$ ，求 $Y$ 的分布函数和概率密度函数．

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【31984】 【 汤家凤《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布】 解答题 设随机变量 $X \sim\left(\begin{array}{cccc}-2 & 0 & 1 & 2 \\ 0.2 & 0.1 & 0.3 & 0.4\end{array}\right), Y=X^2+1$ ，求 $Y$ 的分布．

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【31983】 【 汤家凤《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布】 解答题 设 $X \sim U(-1,2)$ ，对 $X$ 独立观察 4 次，用 $Y$ 表示 4 次中 $X \leqslant 1$ 出现的次数，求 $Y$ 的分布律．

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【31982】 【 汤家凤《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布】 解答题 设随机变量 $X \sim P(\lambda)$ ，且 $2 P\{X=0\}=P\{X=1\}$ ，求 $P\{X \geqslant 2\}$ ．

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【31981】 【 汤家凤《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布】 解答题 口袋中装有六个球，标注为 $1,2,3$ 的球各两个，从中有放回地每次抽取一个球，连续抽 4 次，用 $X$ 表示 4 次中出现标注为 2 的球的个数． （1）求 $X$ 的分布律；（2）求 4 次中取到标注为 2 的球的平均个数．

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【31980】 【 汤家凤《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布】 填空题 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x), f(1-x)=f(1+x)$ ，且 $P\{X \geqslant 2\}=$ 0.3 ，则 $P\{0 \leqslant X<1\}=$ $\qquad$。

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【31979】 【 汤家凤《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布】 解答题 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x<-1, \\ 0.3, & -1 \leqslant x<0, \\ 0.5, & 0 \leqslant x<2, \\ 1, & x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 求 $P\{X=-1\}$ ， $P\{X=0\}, P\{X=2\}$ ．

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【31978】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线单元考试】 填空题 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别 $F_1 、 F_2$ 焦距为 2 ，且与双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 共顶点．$P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $P F_1$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $Q$ ． （1）求椭圆 $C$ 的方程； （2）若点 $P$ 的坐标为 $(0, b)$ ，求过 $P 、 Q 、 F_2$ 三点的圆的方程； （3）若 $\overrightarrow{F_1 P}=\lambda \overrightarrow{Q F_1}$ ，且 $\lambda \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 的最大值．

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【31977】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线单元考试】 填空题 已知抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 ． （1）求抛物线的方程； （2）过点 $P(1,1)$ 作两条动直线 $l_1, l_2$ 分别交抛物线于点 $A, B, C, D$ ．设以 $A B$ 为直径的圆和以 $C D$ 为直径的圆的公共弦所在直线为 $m$ ，试判断直线 $m$ 是否经过定点，并说明理由．

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