【31956】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 多选题 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M(-2,0), N(2,0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P M| \cdot|P N|=5$ ，则下列结论正确的是

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【31955】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 填空题 已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A(4,1), P(x, y)$ 为拋物线上一动点，则 $\triangle P A F$ 周长的最小值为

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【31954】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线的最值问题】 填空题 若 $P, Q$ 分别是抛物线 $x^2=y$ 与圆 $(x-3)^2+y^2=1$ 上的点，则 $|P Q|$ 的最小值为

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【31953】 【 中考考前冲刺-四边形】 解答题 综合与实践 问题情境：如图（1）在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}, A C=2, C D \perp A B$ 于点 $D$ ，点 $O$ 是 $A C$ 中点，将 $\triangle A D C$ 绕点 $O$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到 $\triangle C E A$ ． [img=/uploads/2025-09/ee6215.jpg][/img] 猜想证明： （1）试判断四边形 $A D C E$ 的形状，并说明理由． 问题解决： （2）将 $\triangle A E C$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转得到 $\triangle A^{\prime} E^{\prime} C$ ，当旋转到如图（2）位置时直线 $A^{\prime} E^{\prime}$ 刚好经过点 $A$ ．求证：$A^{\prime} C / / A B$ ，并求出此时 $\triangle A^{\prime} P C$ 的面积． （3）在 $\triangle A E C$ 绕点 $C$ 旋转的过程中，直线 $A^{\prime} E^{\prime}$ 交 $A B$ 于点 $Q$ ，交 $B C$ 于点 $P$ ，是否存在某一时刻，使 $\triangle B P Q$ 是直角三角形．若存在，直接写出 $B P$ 的长，若不存在请说明理由．

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【31952】 【 中考考前冲刺-四边形】 解答题 如图，在菱形 $A B C D$ 中，$A B=10, B D$ 为对角线，点 $E$ 是边 $A B$ 延长线上的任意一点，连结 $D E$ 交 $B C$ 于点 $F, B G$ 平分 $\angle C B E$ 交 $D E$ 于点 $G$ ． （1）求证 $\angle D B G=90$ ； （2）若 $B D=12, D G=2 G E$ ． （1）求菱形 $A B C D$ 的面积； （2）求 $\tan \angle B D E$ 的值． （3）若 $B E=A B$ ，当 $\angle D A B$ 的大小发生变化时 $\left(0^{\circ}<\angle D A B<180^{\circ}\right)$ ，在 $A E$ 上找一点 $T$ ，使 $G T$ 为定值，说明理由并求出 $E T$ 的值． [img=/uploads/2025-09/d551f0.jpg][/img]

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【31951】 【 中考考前冲刺-四边形】 解答题 如图，$\triangle O A D$ 为等腰直角三角形，$\angle O A D=90^{\circ}$ ，延长 $O A$ 至点 $B$ ，使 $O B=O D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，其对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $E$ ，连结 $O E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ． （1）求证：$A F=A B$ ； （2）求 $\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{AF}}$ 的值． [img=/uploads/2025-09/4088f8.jpg][/img]

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【31950】 【 中考考前冲刺-四边形】 解答题 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，直线 $l$ 垂直平分线段 $A C$ ，垂足为点 $O$ ，直线 $l$ 分别交线段 $A D$ ， $C B$ 的延长线交于点 $E 、 F$ ． （1）求证：四边形 $A F C E$ 是菱形； （2）若 $\tan \angle A C B=2, B C=1$ ，则 $E F$ 的长为 [img=/uploads/2025-09/4c29eb.jpg][/img]

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【31949】 【 中考考前冲刺-四边形】 填空题 如图，边长为 8 cm 的正方形 $A B C D$ 先向上平移 3 cm ，再向右平移 2 cm ，得到正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ，此时阴影部分的面积为 [img=/uploads/2025-09/64eae3.jpg][/img]

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【31948】 【 中考考前冲刺-四边形】 填空题 如图，正方形 $A B C D$ 的边长是 $\sqrt{6}$ ，对角线的交点为 $O$ ，点 $E$ 在边 $C D$ 上且 $C E=\sqrt{2}, C F \perp B E$ ，连接 $O F$ ，则 [img=/uploads/2025-09/90f364.jpg][/img]

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【31946】 【 中考考前冲刺-四边形】 填空题 如图，矩形 $A B C D$ 中，$A D: A B=3: 4, P$ 为 $A B$ 上一点，$A D=A P$ ．作 $D Q \perp D P$ 交 $B C$ 延长线于 $Q, R$ 为 $P Q$ 中点，$D R=5$ ，则 $C R$ 的长为 $\qquad$ [img=/uploads/2025-09/420d63.jpg][/img]

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