【36715】 【 线性代数方程的解的专题训练】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ，当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}-\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ ，并求所有矩阵 $\boldsymbol{C}$ 。

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【36714】 【 线性代数方程的解的专题训练】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解． （I）求 $a$ 的值； （II）求方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ 的通解．

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【36713】 【 线性代数方程的解的专题训练】 解答题 $\lambda$ 取何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+\lambda x_2-x_3=1, \\ \lambda x_1-x_2+x_3=2, \\ 4 x_1+5 x_2-5 x_3=-1\end{array}\right.$ 无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．

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【36712】 【 线性代数方程的解的专题训练】 解答题 设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3, \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3, \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3, \\ x_1+a_4 x_2+a_1^2 x_3=a_4^3 .\end{array}\right.$ （I）证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解； （II）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，且已知 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 是该方程组的两个解，其中 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，写出此方程组的通解．

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【36711】 【 线性代数方程的解的专题训练】 解答题 已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=a, \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+x_4-3 x_5=0, \\ x_2+2 x_3+2 x_4+6 x_5=b, \\ 5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4-x_5=2 .\end{array}\right.$ （I）$a, b$ 为何值时，方程组有解？ （II）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系； （III）方程组有解时，求出方程组的全部解．

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【36710】 【 2026年1月河南省南阳市高三年级期末考试数学试卷与答案】 解答题 已知函数 $f(x)=a x^2-x \ln x-a(a \in \mathbf{R}, a>0)$ ，当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \geqslant 0$ 恒成立． （1）求实数 $a$ 的取值范围； （2）若函数 $g(x)=\frac{x^2-1-\ln x}{2 x}-\frac{f(x)}{x}$ ，当实数 $a$ 取最小值时，求使得关于 $x$ 的不等式 $g(x) \geqslant t$ 恒成立的最大整数 $t$ ； （3）已知 $n \in \mathrm{~N}^{\cdot}$ ，证明： $\ln n+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ．

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【36709】 【 2026年1月河南省南阳市高三年级期末考试数学试卷与答案】 解答题 （选择性必修－P76 第 3 题改编）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 到点 $F(0,1)$的距离比到 $x$ 轴的距离大 1 ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ． （1）求曲线 $C$ 的方程； （2）设曲线 $C$ 上位于 $y$ 轴两侧的任意两点为 $A, B$ ，过点 $A, B$ 分别作曲线 $C$ 的切线 $l_1, l_2$ ，且 $l_1$ 与 $l_2$ 交于点 $Q$ ，直线 $y=1$ 与 $l_1$ 和 $l_2$ 分别交于点 $M, N$ ，求 $\triangle Q M N$ 面积的最小值。

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【36708】 【 2026年1月河南省南阳市高三年级期末考试数学试卷与答案】 解答题 如图，梯形 $A B C D$ 中，$O$ 为 $D C$ 上一点，$A B=2, A D=2, A O=2 \sqrt{3}$ ，且 $A O \perp A D$ ， $A O / / B C$ ，将 $\triangle D A O$ 沿着 $A O$ 翻折至 $\triangle P A O$ 所在位怚，使得平面 $P A O \perp$ 平面 $A B C O$ ，连接 $P B, P C$ ，得到四棱锥 $P-A B C O, E$ 为 $P B$ 的中点． （1）若 $F$ 为 $A O$ 的中点，证明：$E F / /$ 平面 $P O C$ ； （2）在线段 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $O M \perp A B$ ？若存在，求直线 $B M$ 与平面 $P A O$ 的夹角的正弦值；若不存在，请说明理由． [img=/uploads/2026-01/100aca.jpg,width=500px][/img]

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【36707】 【 2026年1月河南省南阳市高三年级期末考试数学试卷与答案】 解答题 已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_n=m-\frac{1}{2^n}$ ，令 $b_n=-2 \log _2 a_n-1$ ，由 $a_n$ ， $b_n$ 构成的 $n \times n$ 阶数阵如图所示． （1）求 $m$ 的值及 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求该数阵中所有项的和 $T_n$ ． $$ \left(\begin{array}{ccccc} a_1 b_1, & a_1 b_2, & a_1 b_3, & \cdots, & a_1 b_n \\ a_2 b_1, & a_2 b_2, & a_2 b_3, & \cdots, & a_2 b_n \\ a_3 b_1, & a_3 b_2, & a_3 b_3, & \cdots, & a_3 b_n \\ & & \cdots & \\ a_n b_1, & a_n b_2, & a_n b_3, & \cdots, & a_n b_n \end{array}\right) $$

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【36706】 【 2026年1月河南省南阳市高三年级期末考试数学试卷与答案】 解答题 某兴趣小组调査了某校 100 名学生 100 米短跑成绩的情况，其中有 60 名学生的短跑成绩合格。这 100 名学生中有 45 名学生每周的锻㑈时间超过 5 小时， 60 名短跑成绩合格的学生中有 35 名学生每周的锻炼时间超过 5 小时． （1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值 $\alpha=0.005$ 的 $\chi^2$ 独立性检验，是否可以推断学生短跑成缋合格与每周的锻炼时间超过 5 小时有关？ 单位：人 [img=/uploads/2026-01/00c4ae.jpg,WIDTH=400PX][/img] （2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{5}{6}$ ，每周的锻炼时间不超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{3}{4}$ ．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取 1 名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率．

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