设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3, \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3, \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3, \\ x_1+a_4 x_2+a_1^2 x_3=a_4^3 .\end{array}\right.$
（I）证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解；
（II）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，且已知 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 是该方程组的两个解，其中 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，写出此方程组的通解．